【3次元ダムブレイク(OpenFOAM)】クーラン数違いによる結果比較

こんにちは（@t_kun_kamakiri）

本記事では、気液混相流においてクーラン数による結果に違いが出るのかを検証します。
流体解析ツールOpenFOAMのinterFoamソルバを使います。

本記事の内容

クーラン数による結果の違いを確認する。

OpenFOAM v2312(WSL2)

解析対象
クーラン数について
クーラン数違いによるスタディ
クーラン数の確認
クーラン数のソースコードの確認
まとめ
参考書

解析対象

解析の対象はこちらです。

3次元ダムブレイクの実験

右（実験）、左（数値計算）

こちらをOpenFOAMを使って再現します。
モデルの作り方は下記の記事に詳しく書いていますので、ご参考ください。

クーラン数について

interFoamソルバのクーラン数は、以下の2つの設定があります。

maxAlphaCo
maxCo

違いがよくわからなかったので、調べます。

OpenFOAMユーザーガイド（翻訳）

どうやら、

maxAlphaCo（相の場についてのクーラン数）
maxCo（その他の場についてのクーラン数）

があり、どちらも0.5を超えないようにすることが推奨されているような記述があります。

しかし、クーラン数の大きさはそのまま時間刻みの大きさを決めるため、時間刻みが小さすぎる場合はメッシュを大きくするなど対応しないといけません。
差分法におけるクーラン数$C=\frac{u\Delta t}{\Delta x}$を考えるとイメージしやすいと思います。

$\Delta t$が小さくなりすぎる場合、

精度を無視してクーラン数$C$を大きくする
メッシュサイズ$\Delta x$を大きくする

などが考えられます。

方程式の解き方として陽解法で解く場合は、クーラン数を1以下にしなければ、計算自体が不安定で発散を招きます。

一方、陰解法であればクーラン数による縛りはなく安定（発散しないわけではない）なので、クーラン数を大きくとるのもひとつの手です。
$\Delta t$を1より大きくとるのため、精度が悪くなります。また、発散する可能性も含んでいるので注意が必要です。

クーラン数違いによるスタディ

system/controlDict

adjustTimeStep  yes;

maxCo           0.5;

maxAlphaCo      0.5;

adjustTimeStep yes;

maxCo 0.5;

maxAlphaCo 0.5;

実験（右の動画）と比較するとOpenFOAMによるシミュレーションは全然水しぶきが立っていません。
interFoamはVOF法なので、メッシュによる解像度がかなり効いてくるので、これ以上水志簿記の挙動を合わせるのは厳しそうです。

水しぶきの挙動は全然違いますが、圧力と水位はどうでしょう。

case000(maxCo 0.5、maxAlphaCo 0.5)
圧力と水位の時刻歴

圧力と水位はそこそこ合っていそうです。

上記「case000(maxCo 0.5、maxAlphaCo 0.5)」をベースにクーラン数を以下のように変えてみます。

case001（左上）	maxCo 5.0; maxAlphaCo 0.5;
case002（右上）	maxCo 10.0; maxAlphaCo 0.5;
case003（左下）	maxCo 5.0; maxAlphaCo 5.0;
case004（右下）	maxCo 10.0; maxAlphaCo 10.0;

こちらが結果。

あまり結果に違いがなさそうですね。
水しぶきは相変わらず実験と違います。

圧力と水位をそれぞれ見てみます。

case001(maxCo 5.0、maxAlphaCo 0.5)
圧力と水位の時刻歴

それほど違いが見られません。

case002(maxCo 10.0、maxAlphaCo 0.5)
圧力と水位の時刻歴

これも違いなしですね。

case003(maxCo 5.0、maxAlphaCo 5.0)
圧力と水位の時刻歴

圧力P1に違いがわずかですが出ているように見えます。

case004(maxCo 10.0、maxAlphaCo 10.0)
圧力と水位の時刻歴

明らかに圧力P1に違いが出ていますね。

case000と比較すると、case003とcase004は結果に違いが出ました。
しかし、case001とcase002で結果に違いが出ません。

おそらくクーラン数縛りの設定をしてますが効いておらず、$\Delta t$が変わっていないからと考えられます。

以下で、クーラン数を時刻歴で確認してみます。

クーラン数の確認

クーラン数の時刻歴変化を見てみます。
クーラン数の出力方法はこちらに書いていますので、ご参考ください。

あわせて読みたい

【OpenFOAMのTips】覚えておくと便利だけど忘れがちなもの

case001(maxCo 5.0、maxAlphaCo0.5)
MaxCo

ExecutionTime = 444.67 s  ClockTime = 1514 s

Courant Number mean: 0.0295328 max: 1.00618
Interface Courant Number mean: 0.00338096 max: 0.459985
deltaT = 0.00583673
Time = 7.99416

PIMPLE: iteration 1
smoothSolver:  Solving for alpha.water, Initial residual = 0.000412801, Final residual = 1.09873e-09, No Iterations 2
Phase-1 volume fraction = 0.211769  Min(alpha.water) = -5.868e-07  Max(alpha.water) = 1.00003
MULES: Correcting alpha.water
MULES: Correcting alpha.water
Phase-1 volume fraction = 0.211769  Min(alpha.water) = -2.6557e-06  Max(alpha.water) = 1.00003
DICPCG:  Solving for p_rgh, Initial residual = 0.00262326, Final residual = 5.90619e-05, No Iterations 2
time step continuity errors : sum local = 0.000186976, global = 5.03081e-08, cumulative = 0.00243923
DICPCG:  Solving for p_rgh, Initial residual = 9.07816e-05, Final residual = 3.90669e-06, No Iterations 10
time step continuity errors : sum local = 1.23549e-05, global = 1.87299e-06, cumulative = 0.0024411
DICPCG:  Solving for p_rgh, Initial residual = 1.23139e-05, Final residual = 7.39855e-08, No Iterations 28
time step continuity errors : sum local = 2.33905e-07, global = 2.68529e-08, cumulative = 0.00244113
ExecutionTime = 444.86 s  ClockTime = 1515 s

Courant Number mean: 0.0294103 max: 1.02874
Interface Courant Number mean: 0.00336109 max: 0.45668
deltaT = 0.00583673
Time = 8

ExecutionTime = 444.67 s ClockTime = 1514 s

Courant Number mean: 0.0295328 max: 1.00618

Interface Courant Number mean: 0.00338096 max: 0.459985

deltaT = 0.00583673

Time = 7.99416

PIMPLE: iteration 1

smoothSolver: Solving for alpha.water, Initial residual = 0.000412801, Final residual = 1.09873e-09, No Iterations 2

Phase-1 volume fraction = 0.211769 Min(alpha.water) = -5.868e-07 Max(alpha.water) = 1.00003

MULES: Correcting alpha.water

Phase-1 volume fraction = 0.211769 Min(alpha.water) = -2.6557e-06 Max(alpha.water) = 1.00003

DICPCG: Solving for p_rgh, Initial residual = 0.00262326, Final residual = 5.90619e-05, No Iterations 2

time step continuity errors : sum local = 0.000186976, global = 5.03081e-08, cumulative = 0.00243923

DICPCG: Solving for p_rgh, Initial residual = 9.07816e-05, Final residual = 3.90669e-06, No Iterations 10

time step continuity errors : sum local = 1.23549e-05, global = 1.87299e-06, cumulative = 0.0024411

DICPCG: Solving for p_rgh, Initial residual = 1.23139e-05, Final residual = 7.39855e-08, No Iterations 28

time step continuity errors : sum local = 2.33905e-07, global = 2.68529e-08, cumulative = 0.00244113

ExecutionTime = 444.86 s ClockTime = 1515 s

Courant Number mean: 0.0294103 max: 1.02874

Interface Courant Number mean: 0.00336109 max: 0.45668

deltaT = 0.00583673

Time = 8

設定は「maxCo 5.0」のはずがずっと1くらいです。

case002(maxCo 10.0、maxAlphaCo 0.5)
MaxCo

こちらも設定は「maxCo 10.0」のはずがずっと1くらいです。

Courant Number mean: 0.0295328 max: 1.00618
Interface Courant Number mean: 0.00338096 max: 0.459985
deltaT = 0.00583673
Time = 7.99416

PIMPLE: iteration 1
smoothSolver:  Solving for alpha.water, Initial residual = 0.000412801, Final residual = 1.09873e-09, No Iterations 2
Phase-1 volume fraction = 0.211769  Min(alpha.water) = -5.868e-07  Max(alpha.water) = 1.00003
MULES: Correcting alpha.water
MULES: Correcting alpha.water
Phase-1 volume fraction = 0.211769  Min(alpha.water) = -2.6557e-06  Max(alpha.water) = 1.00003
DICPCG:  Solving for p_rgh, Initial residual = 0.00262326, Final residual = 5.90619e-05, No Iterations 2
time step continuity errors : sum local = 0.000186976, global = 5.03081e-08, cumulative = 0.00243923
DICPCG:  Solving for p_rgh, Initial residual = 9.07816e-05, Final residual = 3.90669e-06, No Iterations 10
time step continuity errors : sum local = 1.23549e-05, global = 1.87299e-06, cumulative = 0.0024411
DICPCG:  Solving for p_rgh, Initial residual = 1.23139e-05, Final residual = 7.39855e-08, No Iterations 28
time step continuity errors : sum local = 2.33905e-07, global = 2.68529e-08, cumulative = 0.00244113
ExecutionTime = 444.51 s  ClockTime = 1514 s

Courant Number mean: 0.0294103 max: 1.02874
Interface Courant Number mean: 0.00336109 max: 0.45668
deltaT = 0.00583673
Time = 8

Courant Number mean: 0.0295328 max: 1.00618

Interface Courant Number mean: 0.00338096 max: 0.459985

deltaT = 0.00583673

Time = 7.99416

PIMPLE: iteration 1

smoothSolver: Solving for alpha.water, Initial residual = 0.000412801, Final residual = 1.09873e-09, No Iterations 2

Phase-1 volume fraction = 0.211769 Min(alpha.water) = -5.868e-07 Max(alpha.water) = 1.00003

MULES: Correcting alpha.water

Phase-1 volume fraction = 0.211769 Min(alpha.water) = -2.6557e-06 Max(alpha.water) = 1.00003

DICPCG: Solving for p_rgh, Initial residual = 0.00262326, Final residual = 5.90619e-05, No Iterations 2

time step continuity errors : sum local = 0.000186976, global = 5.03081e-08, cumulative = 0.00243923

DICPCG: Solving for p_rgh, Initial residual = 9.07816e-05, Final residual = 3.90669e-06, No Iterations 10

time step continuity errors : sum local = 1.23549e-05, global = 1.87299e-06, cumulative = 0.0024411

DICPCG: Solving for p_rgh, Initial residual = 1.23139e-05, Final residual = 7.39855e-08, No Iterations 28

time step continuity errors : sum local = 2.33905e-07, global = 2.68529e-08, cumulative = 0.00244113

ExecutionTime = 444.51 s ClockTime = 1514 s

Courant Number mean: 0.0294103 max: 1.02874

Interface Courant Number mean: 0.00336109 max: 0.45668

deltaT = 0.00583673

Time = 8

maxAlphaCo 0.5縛りによって、maxCoを大きくとれていないですね。
それゆえに、時間刻みも小さいままです。
だから、圧力や水位の時刻歴においてcase000との違いが出なかったということです。

case003(maxCo 5.0、maxAlphaCo 5.0)
MaxCo

Courant Number mean: 0.189035 max: 5.03542
Interface Courant Number mean: 0.0210549 max: 3.02185
deltaT = 0.0333333
Time = 7.96667

PIMPLE: iteration 1
smoothSolver:  Solving for alpha.water, Initial residual = 0.00184151, Final residual = 1.14069e-09, No Iterations 5
Phase-1 volume fraction = 0.211509  Min(alpha.water) = -6.98059e-05  Max(alpha.water) = 1.00015
MULES: Correcting alpha.water
MULES: Correcting alpha.water
Phase-1 volume fraction = 0.211509  Min(alpha.water) = -0.000314536  Max(alpha.water) = 1.00133
DICPCG:  Solving for p_rgh, Initial residual = 0.00654128, Final residual = 0.000188384, No Iterations 2
time step continuity errors : sum local = 0.0151257, global = -4.8725e-05, cumulative = 0.0422917
DICPCG:  Solving for p_rgh, Initial residual = 0.000276112, Final residual = 1.33488e-05, No Iterations 9
time step continuity errors : sum local = 0.00106436, global = 0.000209138, cumulative = 0.0425008
DICPCG:  Solving for p_rgh, Initial residual = 7.22407e-05, Final residual = 9.37697e-08, No Iterations 35
time step continuity errors : sum local = 7.45577e-06, global = -2.55728e-07, cumulative = 0.0425006
ExecutionTime = 94.38 s  ClockTime = 376 s

Courant Number mean: 0.185345 max: 7.24439
Interface Courant Number mean: 0.0200729 max: 1.87555
deltaT = 0.0333333
Time = 8

Courant Number mean: 0.189035 max: 5.03542

Interface Courant Number mean: 0.0210549 max: 3.02185

deltaT = 0.0333333

Time = 7.96667

PIMPLE: iteration 1

smoothSolver: Solving for alpha.water, Initial residual = 0.00184151, Final residual = 1.14069e-09, No Iterations 5

Phase-1 volume fraction = 0.211509 Min(alpha.water) = -6.98059e-05 Max(alpha.water) = 1.00015

MULES: Correcting alpha.water

Phase-1 volume fraction = 0.211509 Min(alpha.water) = -0.000314536 Max(alpha.water) = 1.00133

DICPCG: Solving for p_rgh, Initial residual = 0.00654128, Final residual = 0.000188384, No Iterations 2

time step continuity errors : sum local = 0.0151257, global = -4.8725e-05, cumulative = 0.0422917

DICPCG: Solving for p_rgh, Initial residual = 0.000276112, Final residual = 1.33488e-05, No Iterations 9

time step continuity errors : sum local = 0.00106436, global = 0.000209138, cumulative = 0.0425008

DICPCG: Solving for p_rgh, Initial residual = 7.22407e-05, Final residual = 9.37697e-08, No Iterations 35

time step continuity errors : sum local = 7.45577e-06, global = -2.55728e-07, cumulative = 0.0425006

ExecutionTime = 94.38 s ClockTime = 376 s

Courant Number mean: 0.185345 max: 7.24439

Interface Courant Number mean: 0.0200729 max: 1.87555

deltaT = 0.0333333

Time = 8

maxAlphaCo 5.0にすることで、maxCoを大きくとれています。
それゆえに、時間刻みも大きめになっています。
時間刻みが大きくなっているので、精度が落ちて圧力P1の時刻歴が実験データと合わなくなってきたということですね。

case004(maxCo 10.0、maxAlphaCo 10.0)
MaxCo

DICPCG:  Solving for p_rgh, Initial residual = 8.22201e-05, Final residual = 7.73108e-08, No Iterations 35
time step continuity errors : sum local = 5.55676e-06, global = -4.41755e-07, cumulative = 0.0688766
ExecutionTime = 55.53 s  ClockTime = 185 s

Courant Number mean: 0.224018 max: 6.3044
Interface Courant Number mean: 0.0216694 max: 2.29178
deltaT = 0.0333333
Time = 7.96667

PIMPLE: iteration 1
smoothSolver:  Solving for alpha.water, Initial residual = 0.001657, Final residual = 6.00192e-09, No Iterations 5
Phase-1 volume fraction = 0.211218  Min(alpha.water) = -0.00026623  Max(alpha.water) = 1.00001
MULES: Correcting alpha.water
MULES: Correcting alpha.water
Phase-1 volume fraction = 0.211218  Min(alpha.water) = -0.0044743  Max(alpha.water) = 1.00023
DICPCG:  Solving for p_rgh, Initial residual = 0.00711339, Final residual = 0.000217433, No Iterations 2
time step continuity errors : sum local = 0.0159052, global = 6.23523e-05, cumulative = 0.0689389
DICPCG:  Solving for p_rgh, Initial residual = 0.000320344, Final residual = 1.39753e-05, No Iterations 9
time step continuity errors : sum local = 0.00101415, global = 0.000230766, cumulative = 0.0691697
DICPCG:  Solving for p_rgh, Initial residual = 8.18283e-05, Final residual = 9.68297e-08, No Iterations 35
time step continuity errors : sum local = 7.00384e-06, global = -5.04597e-07, cumulative = 0.0691692
ExecutionTime = 55.75 s  ClockTime = 186 s

Courant Number mean: 0.218453 max: 6.16746
Interface Courant Number mean: 0.0208167 max: 2.12081
deltaT = 0.0333333
Time = 8

DICPCG: Solving for p_rgh, Initial residual = 8.22201e-05, Final residual = 7.73108e-08, No Iterations 35

time step continuity errors : sum local = 5.55676e-06, global = -4.41755e-07, cumulative = 0.0688766

ExecutionTime = 55.53 s ClockTime = 185 s

Courant Number mean: 0.224018 max: 6.3044

Interface Courant Number mean: 0.0216694 max: 2.29178

deltaT = 0.0333333

Time = 7.96667

PIMPLE: iteration 1

smoothSolver: Solving for alpha.water, Initial residual = 0.001657, Final residual = 6.00192e-09, No Iterations 5

Phase-1 volume fraction = 0.211218 Min(alpha.water) = -0.00026623 Max(alpha.water) = 1.00001

MULES: Correcting alpha.water

Phase-1 volume fraction = 0.211218 Min(alpha.water) = -0.0044743 Max(alpha.water) = 1.00023

DICPCG: Solving for p_rgh, Initial residual = 0.00711339, Final residual = 0.000217433, No Iterations 2

time step continuity errors : sum local = 0.0159052, global = 6.23523e-05, cumulative = 0.0689389

DICPCG: Solving for p_rgh, Initial residual = 0.000320344, Final residual = 1.39753e-05, No Iterations 9

time step continuity errors : sum local = 0.00101415, global = 0.000230766, cumulative = 0.0691697

DICPCG: Solving for p_rgh, Initial residual = 8.18283e-05, Final residual = 9.68297e-08, No Iterations 35

time step continuity errors : sum local = 7.00384e-06, global = -5.04597e-07, cumulative = 0.0691692

ExecutionTime = 55.75 s ClockTime = 186 s

Courant Number mean: 0.218453 max: 6.16746

Interface Courant Number mean: 0.0208167 max: 2.12081

deltaT = 0.0333333

Time = 8

こちらもクーラン数については設定どおりです。
時間刻みが大きいですね。

クーラン数のソースコードの確認

OpenFOAMはオープンソースゆえにコードの中身を覗くことができます。
今回はsystem/controlDictのこちらの2つの設定から、どのようにクーラン数を計算しているのかを確認します。

maxCo           0.5;
maxAlphaCo      0.5;

1 2	maxCo 0.5; maxAlphaCo 0.5;

CourantNoに詳しく式が書いているので確認。

$$Co=\Delta_{t} \tau$$

$\Delta_{t}$は時間刻みで、$\tau$は局所セルの流れのスケールに基づいた特徴的な時間スケールです。

$$\tau=\frac{1}{2V}\sum_{faces}|\phi_{i}|$$

ここで、$V$はセルの体積、$\phi$面の体積フラックスであり、$\sum_{faces}$のセル面の合計です。

クーラン数は、フラックス場の影響下で情報が輸送される速度の尺度を提供し、数値スキームの性能の限界要因となります。

OpenFOAMは有限体積法なので、差分法のクーラン数$C=\frac{u\Delta t}{\Delta x}$の式と異なりますが、お気持ちは何となくわかりますね。

ソースコードを見ると確かにそのようになっています。

maxCoについて

scalar CoNum = 0.0;
scalar meanCoNum = 0.0;
 
if (mesh.nInternalFaces())
{
    surfaceScalarField phiMask(localMin<scalar>(mesh).interpolate(cellMask));
 
    scalarField sumPhi
    (
        fvc::surfaceSum(mag(phiMask*phi))().internalField()
    );
 
    CoNum = 0.5*gMax(sumPhi/mesh.V().field())*runTime.deltaTValue();
 
    meanCoNum =
        0.5*(gSum(sumPhi)/gSum(mesh.V().field()))*runTime.deltaTValue();
}
 
Info<< "Courant Number mean: " << meanCoNum
    << " max: " << CoNum << endl;

scalar CoNum = 0.0;

scalar meanCoNum = 0.0;

if (mesh.nInternalFaces())

{

surfaceScalarField phiMask(localMin<scalar>(mesh).interpolate(cellMask));

scalarField sumPhi

(

fvc::surfaceSum(mag(phiMask*phi))().internalField()

);

CoNum = 0.5*gMax(sumPhi/mesh.V().field())*runTime.deltaTValue();

meanCoNum =

0.5*(gSum(sumPhi)/gSum(mesh.V().field()))*runTime.deltaTValue();

}

Info<< "Courant Number mean: " << meanCoNum

<< " max: " << CoNum << endl;

maxAlphaCoについて

scalar maxAlphaCo
(
    runTime.controlDict().get<scalar>("maxAlphaCo")
);
 
scalar alphaCoNum = 0.0;
scalar meanAlphaCoNum = 0.0;
 
if (mesh.nInternalFaces())
{
    surfaceScalarField phiMask(localMin<scalar>(mesh).interpolate(cellMask));
 
    scalarField sumPhi
    (
        mixture.nearInterface()().internalField()
       *fvc::surfaceSum(mag(phiMask*phi))().internalField()
    );
 
    alphaCoNum = 0.5*gMax(sumPhi/mesh.V().field())*runTime.deltaTValue();
 
    meanAlphaCoNum =
        0.5*(gSum(sumPhi)/gSum(mesh.V().field()))*runTime.deltaTValue();
}
 
Info<< "Interface Courant Number mean: " << meanAlphaCoNum
    << " max: " << alphaCoNum << endl;