【掃き出し法】拡大係数行列を使って連立１次方程式を解く

前回では連立方程式を解くための公式であるクラメルの公式とその演習問題について解説を行いました。

前回の記事はこちら

クラメルの公式は手計算で3つの連立方程式を解く際には有効な手段ではありますが、4つの連立方程式を解く際にはちょっと無理がある解法です。
なぜなら3つの連立方程式をクラメルの公式を用いて解く際には、3次正方行列の行列式を計算する必要があるからです。

3次の正方行列までならサラスの公式を使うことで行列式を簡単に手計算でも求めることができますが、4次の正方行列だとそうはいきません。

ましてや、数値計算をしようものなら1000つ程度の連立方程式を解く必要があったり、1000×1000の規模の大きさの行列を取り扱います。

そこで大規模な連立方程式を数値計算で解く際にも使われるのがこちら。

掃き出し法

今回は掃き出し法について紹介します。

簡単な例題を用いて身に付けましょう(^^)/

本記事の内容

次の連立方程式の解$x_{1},x_{2},x_{3}$を掃き出し法を使って求めます。

\begin{align*}
\left\{\begin{matrix}
3x_{1}+2x_{2}+x_{3}&=&1\\
2x_{1}+2x_{2}+x_{3}&=&5\\
x_{1}+3x_{2}+2x_{3}&=&2
\end{matrix}\right.\tag{1}
\end{align*}

これから線形代数を学ぶ学生や社会人のために「役に立つ内容にしたい」という思いで記事を書いていこうと考えています。

こんな人が対象

行列をはじめて習う高校生・大学生
仕事で行列を使うけど忘れてしまった社会人

この記事の内容をマスターして行列計算を楽に計算できるようになりましょう(^^)

拡大係数行列
拡大係数行列を使わずに掃き出し法で解く
1. Step1:上から下へ掃き出していく
2. Step2：下から上に掃き出していく
拡大係数行列を使って連立方程式を解く
まとめ
参考にする参考書はこれ

拡大係数行列

今回解く問題はこちらですね。

\begin{align*}
\left\{\begin{matrix}
3x_{1}+2x_{2}+x_{3}&=&1\\
2x_{1}+2x_{2}+x_{3}&=&5\\
x_{1}+3x_{2}+2x_{3}&=&2
\end{matrix}\right.\tag{1}
\end{align*}

まずは連立方程式を行列に書きなおしてやりましょう。

\begin{align*}
\underset{A}{\begin{pmatrix}
3 &2 &1 \\
2 & 2 &1 \\
1 & 3 &2
\end{pmatrix}}
\underset{X}{\begin{pmatrix}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}
\end{pmatrix}}
=\underset{B}{\begin{pmatrix}
1 \\
5 \\
2
\end{pmatrix}}\tag{2}
\end{align*}

このように行列にすれば$AX=B$の$X$を求めればよいのがわかりますね。
$A$が3行3列の行列、$B$が3行1列の行列です。

ここで表記上の話ですが、(2)の$X$を除いて左辺の行列$A$と右辺の行列$B$を以下のように表記します。

係数だけを並べて、行列$A$と行列$B$拡大した行列なので拡大係数行列と言います。

このように書いておくと掃き出し法で連立方程式を解く際には便利なのですね。
以下にこの$\left [\begin{matrix}
3 &2 &1\\
2 & 2 &1\\
1 & 3 &2
\end{matrix}\right|
\left.\begin{matrix}
1\\
5\\
2
\end{matrix}\right]$の表記を扱うかが本記事の内容となります。

どのように便利かを体験するために、まずは拡大係数行列の記法を使わずに掃き出し法で連立方程式を解いてみましょう。

拡大係数行列を使わずに掃き出し法で解く

ここで連立方程式を解く方法は、あくまで掃き出し法です。

\begin{align*}
\left\{\begin{matrix}
3x_{1}+2x_{2}+x_{3}&=&1\\
2x_{1}+2x_{2}+x_{3}&=&5\\
x_{1}+3x_{2}+2x_{3}&=&2
\end{matrix}\right.\tag{1}
\end{align*}

ここで解説するステップを踏むことで比較的簡単に連立方程式を解くことができます。