こんにちは（@t_kun_kamakiri)
本日は「計算力学技術者試験の熱流体2級」の計算問題に関する内容です。
これから計算力学技術者の熱流体を勉強する方を対象に問題を通して理解をしていければと思います。
こんな方が対象
- 計算力学技術者試験の熱流体2級を勉強している方
- 解析結果の見方などを学びたい方
では、問題です。
計算力学技術者熱流体２級対策アプリをリリースしました。
- 下記をクリックしてホームページでダウンロードできます。
- LINE公式に登録すると無料で問題の一部を閲覧できます。
※LINEの仕様で数式がずれていますが、アプリでは問題ありません。
解答例1
音速$a=\sqrt{\frac{dp}{d\rho}}$とします。
ここで、断熱過程であるため、ポアソンの法則$\frac{p}{\rho^{\gamma}}=\text{const}$より、両辺$\rho$で微分します。
圧力$p$は密度$\rho$に依存するため、商の微分を行います。
\begin{align*}
\frac{\frac{dp}{d\rho}\rho^{\gamma} – p\frac{d}{d\rho}\rho^{\gamma}}{(\rho^{\gamma})^2}=0\tag{1}
\end{align*}
\frac{\frac{dp}{d\rho}\rho^{\gamma} – p\frac{d}{d\rho}\rho^{\gamma}}{(\rho^{\gamma})^2}=0\tag{1}
\end{align*}
これより、
\begin{align*}
\frac{dp}{d\rho}\rho^{\gamma}=p\gamma\rho^{\gamma -1}\tag{2}
\end{align*}
\frac{dp}{d\rho}\rho^{\gamma}=p\gamma\rho^{\gamma -1}\tag{2}
\end{align*}
\begin{align*}
\frac{dp}{d\rho}=\gamma\frac{p}{\rho}\tag{3}
\end{align*}
\frac{dp}{d\rho}=\gamma\frac{p}{\rho}\tag{3}
\end{align*}
ゆえに、音速は、
\begin{align*}
a=\sqrt{\frac{dp}{d\rho}}=\sqrt{\gamma\frac{p}{\rho}}\tag{4}
\end{align*}
a=\sqrt{\frac{dp}{d\rho}}=\sqrt{\gamma\frac{p}{\rho}}\tag{4}
\end{align*}
解答例2
音速$a=\sqrt{\frac{dp}{d\rho}}$とします。
ここで、断熱過程であるため、ポアソンの法則$\frac{p}{\rho^{\gamma}}=\text{const}$より、$p=C\rho^{\gamma}$として、両辺$\rho$で微分します。
\begin{align*}
\frac{dp}{d\rho}=C\gamma\rho^{\gamma – 1}\tag{5}
\end{align*}
\frac{dp}{d\rho}=C\gamma\rho^{\gamma – 1}\tag{5}
\end{align*}
$C=\frac{p}{\rho^{\gamma}}$を代入すると、
\begin{align*}
\frac{dp}{d\rho}&=\frac{p}{\rho^{\gamma}}\gamma\rho^{\gamma – 1}\\
&=\gamma\frac{p}{\rho}\tag{6}
\end{align*}
\frac{dp}{d\rho}&=\frac{p}{\rho^{\gamma}}\gamma\rho^{\gamma – 1}\\
&=\gamma\frac{p}{\rho}\tag{6}
\end{align*}
ゆえに、音速は、
\begin{align*}
a=\sqrt{\frac{dp}{d\rho}}=\sqrt{\gamma\frac{p}{\rho}}\tag{4}
\end{align*}
a=\sqrt{\frac{dp}{d\rho}}=\sqrt{\gamma\frac{p}{\rho}}\tag{4}
\end{align*}
まとめ
ただし、断熱過程でのポアソンの法則$\frac{p}{\rho^{\gamma}}=\text{const}$は理想気体について成り立つ式であるため、音速がいつでも(4)のようになるわけではありません。
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