【レイノルズ方程式】ナビエストークス方程式の時間平均化された方程式

こんにちは（@t_kun_kamakiri)

本日は「計算力学技術者試験の熱流体2級」で出てくるレイノルズ平均 or レイノルズ方程式と呼ばれる式を解説をします。
レイノルズ方程式とは「レイノルズ平均モデルに基づく時間平均されたナビエストークス方程式」です。

と、言われてもおそらく多くの方が、

レイノルズ平均モデルって何？
時間平均ってどういうこと？

となっていることでしょう。

レイノルズ方程式は、特に乱れた流れを数値シミュレーションする際にRANSという言葉で使われたりします。熱流体のCAE解析をする人は必ず知っておく必要があります。

こんな方が対象

計算力学技術者試験の熱流体2級を勉強している方
乱流についての数値的な取り扱いを勉強し始めた方
レイノルズ方程式とは何かを知りたい方

※微分や偏微分などは理解している方を対象にしています。

では、問題です。

問題

レイノルズ方程式を書きなさい。
レイノルズ応力方程式を書きなさい

※問題には本記事とは全然関係ないですが、レイノルズ応力方程式（または応力方程式、レイノルズ応力の輸送方程式）についても書いてもらうことにします。

レイノルズ方程式とレイノルズ応力方程式って名前が似ていますが、式が異なるので区別をきちんとするために問題に入れてみました。

レイノルズ応力方程式は、レイノルズ平均した方程式から導かれるレイノルズ応力$-\rho \overline{u_{i}^{\prime}u_{j}^{\prime}}$の輸送方程式のことです。

問題の解説は本記事に書いています。
解答はまとめに書いています。

レイノルズ応力について、上記の問題について瞬時に解説ができれば熱流体2級（もしくは1級レベルも）の合格はグッと近づきますね。

レイノルズ方程式を書き下す
レイノルズ方程式の導出
まとめ
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レイノルズ方程式を書き下す

まずは結果から先に示すことにします。
レイノルズ方程式を書き下します。

レイノルズ方程式

\begin{align*}
\frac{\partial \overline{u_{i}}}{\partial t}+\frac{\partial \overline{u_{i}}\,\overline{u_{j}}}{\partial x_{j}}=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial \overline{p}}{\partial x_{i}}+\nu\frac{\partial^2 \overline{u_{i}}}{\partial x_{j}^2}+\overline{K_{i}}-\frac{\partial \overline{u_{i}^{\prime}{u_{j}^{\prime}}}}{\partial x_{j}}\tag{5}
\end{align*}

ちゃんと3成分で丁寧に書くと以下となります。

\begin{align*}
\left\{\begin{matrix}
\frac{\partial \overline{u_{1}}}{\partial t}+\frac{\partial \overline{u_{1}}\,\overline{u_{1}}}{\partial x_{1}}+\frac{\partial \overline{u_{1}}\,\overline{u_{2}}}{\partial x_{2}}+\frac{\partial \overline{u_{1}}\,\overline{u_{3}}}{\partial x_{3}}=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial \overline{p}}{\partial x_{1}}+\nu\bigg(\frac{\partial^2 \overline{u_{1}}}{\partial x_{1}^2}+\frac{\partial^2 \overline{u_{1}}}{\partial x_{2}^2}+\frac{\partial^2 \overline{u_{1}}}{\partial x_{3}^2}\bigg)+\overline{K_{1}}+\underset{レイノルズ応力}{\bigg(-\frac{\partial \overline{u_{1}^{\prime}{u_{1}^{\prime}}}}{\partial x_{1}}-\frac{\partial \overline{u_{1}^{\prime}{u_{2}^{\prime}}}}{\partial x_{2}}-\frac{\partial \overline{u_{1}^{\prime}{u_{3}^{\prime}}}}{\partial x_{3}}\bigg)}\\
\frac{\partial \overline{u_{2}}}{\partial t}+\frac{\partial \overline{u_{2}}\,\overline{u_{1}}}{\partial x_{1}}+\frac{\partial \overline{u_{2}}\,\overline{u_{2}}}{\partial x_{2}}+\frac{\partial \overline{u_{2}}\,\overline{u_{3}}}{\partial x_{3}}=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial \overline{p}}{\partial x_{2}}+\nu\bigg(\frac{\partial^2 \overline{u_{2}}}{\partial x_{1}^2}+\frac{\partial^2 \overline{u_{2}}}{\partial x_{2}^2}+\frac{\partial^2 \overline{u_{2}}}{\partial x_{3}^2}\bigg)+\overline{K_{2}}+\underset{レイノルズ応力}{\bigg(-\frac{\partial \overline{u_{2}^{\prime}{u_{1}^{\prime}}}}{\partial x_{1}}-\frac{\partial \overline{u_{2}^{\prime}{u_{2}^{\prime}}}}{\partial x_{2}}-\frac{\partial \overline{u_{2}^{\prime}{u_{3}^{\prime}}}}{\partial x_{3}}\bigg)}\\
\frac{\partial \overline{u_{3}}}{\partial t}+\frac{\partial \overline{u_{3}}\,\overline{u_{1}}}{\partial x_{1}}+\frac{\partial \overline{u_{3}}\,\overline{u_{2}}}{\partial x_{2}}+\frac{\partial \overline{u_{3}}\,\overline{u_{3}}}{\partial x_{3}}=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial \overline{p}}{\partial x_{3}}+\nu\bigg(\frac{\partial^2 \overline{u_{3}}}{\partial x_{1}^2}+\frac{\partial^2 \overline{u_{3}}}{\partial x_{2}^2}+\frac{\partial^2 \overline{u_{3}}}{\partial x_{3}^2}\bigg)+\overline{K_{3}}+\underset{レイノルズ応力}{\bigg(-\frac{\partial \overline{u_{3}^{\prime}{u_{1}^{\prime}}}}{\partial x_{1}}-\frac{\partial \overline{u_{3}^{\prime}{u_{2}^{\prime}}}}{\partial x_{2}}-\frac{\partial \overline{u_{3}^{\prime}{u_{3}^{\prime}}}}{\partial x_{3}}\bigg)}
\end{matrix}\right.
\end{align*}

これをレイノルズ方程式といいます。
これがRANS(Reynolds-Averaged Navier-Stokes)と呼ばれる乱流モデルです。

この式をまずは頭にしっかり入れておくか、次に示す導出過程も含めて覚えてください。

レイノルズ方程式の導出

そもそも平均的な流速$\overline{\boldsymbol{u}}$は何を意味しているのか？と思ったことでしょう。

時間的な平均なのか
空間的な平均なのか
アンサンブル平均なのか

ある点に対して流速を測定して時間平均を行います。
例として$x$方向の流速を測定して、有限の時間で平均することを考えましょう。

\begin{align*}
\overline{u(\boldsymbol{r},t)}=\int^{T}_{0}u(\boldsymbol{r},\tau)\,d\tau
\end{align*}

実際は時間平均した速度に対して乱れ流速$u(\boldsymbol{r},t)^{\prime}$という変動分があるので以下が実際の流速になります。

\begin{align*}
u(\boldsymbol{r},t)=\overline{u(\boldsymbol{r},t)}+u(\boldsymbol{r},t)^{\prime}
\end{align*}

この分解をレイノルズ分解といいます。

このように時間平均した$\overline{u(\boldsymbol{r},t)}$を使って平均的な流速を求めることで、乱れを考慮した流れの様子を考えます。

ここで以下の仮定を入れます。

乱れの平均は0：$\overline{u(\boldsymbol{r},t)^{\prime}}=0$
平均と乱れは無相関：$\overline{\overline{u(\boldsymbol{r},t)}u(\boldsymbol{r},t)^{\prime}}=0$
「平均の平均」は平均$\overline{\overline{u(\boldsymbol{r},t)}}=\overline{u(\boldsymbol{r},t)}$

一般的に必ずこうなるとは限らないですが、上式の仮定をレイノルズ平均といいます。
一種、こういう過程を入れているわけですね。

では、$u(\boldsymbol{r},t)=\overline{u(\boldsymbol{r},t)}+u(\boldsymbol{r},t)^{\prime}$とした場合のナビエストークス方程式はどうなるのでしょうか。

まず、非圧縮性のナビエストークス方程式以下で表されます。

\begin{align*}
\frac{\partial u_{i}}{\partial t}+\frac{\partial u_{i}u_{j}}{\partial x_{j}}=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x_{i}}+\nu\frac{\partial^2 u_{i}}{\partial x_{j}^2}+K_{i}\tag{1}
\end{align*}

非圧縮流れにおける連続の式は$\frac{\partial u_{j}}{\partial x_{j}}$となりますが、ここではナビエストークス方程式だけを例にとって考えます。

(1)に$u(\boldsymbol{r},t)=\overline{u(\boldsymbol{r},t)}+u(\boldsymbol{r},t)^{\prime}$を代入します。

実際に代入するの成分表記した以下の式です。

\begin{align*}
u_{i}=\overline{u_{i}}+u_{i}^{\prime}\\
p=\overline{p}+p^{\prime}
\end{align*}

まずは代入するだけ。

\begin{align*}
\frac{\partial }{\partial t}\big(\overline{u_{i}}+u_{i}^{\prime}\big)+\frac{\partial}{\partial x_{j}}\big(\overline{u_{i}}+u_{i}^{\prime}\big)\big(\overline{u_{j}}+u_{j}^{\prime}\big)=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial }{\partial x_{i}}\big(\overline{p}+p^{\prime}\big)+\nu\frac{\partial^2}{\partial x_{j}^2}\big(\overline{u_{i}}+u_{i}^{\prime}\big)+K_{i}
\end{align*}

次にこの式に有限時間$t$~$T$まで積分します。
例えば、第1項は$\frac{1}{T}\int^{T}_{t}\frac{\partial }{\partial t}\big(\overline{u_{i}}+u_{i}^{\prime}\big)\, dt$と計算します。
ここで有限時間での積分なので、微分と積分を入れ替え
$\frac{\partial }{\partial t}\frac{1}{T}\int^{T}_{t}\big(\overline{u_{i}}+u_{i}^{\prime}\big)\, dt$となります。

式の中では積分記号で時間平均を表現する代わりにバーを付けて$\frac{1}{T}\int^{T}_{t}\big(\overline{u_{i}}+u_{i}^{\prime}\big)\, dt=\overline{\big(\overline{u_{i}}+u_{i}^{\prime}}\big)$のように書くこととします。

第2項目$\overline{u_{i}}\overline{u_{j}}+\overline{u_{i}}u_{j}^{\prime}+u_{i}^{\prime}\overline{u_{j}}+u_{i}^{\prime}u_{j}^{\prime}$の展開に注意して式を書くと、

\begin{align*}
\frac{\partial }{\partial t}\big(\overline{\overline{u_{i}}}+\overline{u_{i}^{\prime}}\big)+\frac{\partial}{\partial x_{j}}\big(\overline{\overline{u_{i}}\,\overline{u_{j}}}+\overline{\overline{u_{i}}u_{j}^{\prime}}+\overline{u_{i}^{\prime}\overline{u_{j}}}+\overline{u_{i}^{\prime}u_{j}^{\prime}}\big)=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial }{\partial x_{i}}\big(\overline{p}+\overline{p^{\prime}}\big)+\nu\frac{\partial^2}{\partial x_{j}^2}\big(\overline{\overline{u_{i}}}+\overline{u_{i}^{\prime}}\big)+\overline{K_{i}}
\end{align*}

となります。

ここでレイノルズ平均について思い出します。
流速成分や圧力をまとめて$f$という記号で表すと、

乱れの平均は0：$\overline{f^{\prime}}=0$
平均と乱れは無相関：$\overline{\overline{f}f^{\prime}}=0$
「平均の平均」は平均$\overline{\overline{f}}=\overline{f}$

となる過程の元、

「平均の平均」は平均：$\overline{\overline{u_{i}}}=\overline{u_{i}}$
「平均の平均」は平均：$\overline{\overline{u_{i}}\,\overline{u_{j}}}=\overline{u_{i}}\,\overline{u_{j}}$
平均と乱れは無相関：$\overline{\overline{u_{i}}u_{j}^{\prime}}=0$
平均と乱れは無相関$\overline{u_{i}^{\prime}\overline{u_{j}}}=0$
乱れの平均は0：$\overline{p^{\prime}}=0$
乱れの平均は0：$\overline{u_{i}^{\prime}}=0$：

以下の式になります。

\begin{align*}
\frac{\partial }{\partial t}\big(\overline{u_{i}}+0\big)+\frac{\partial}{\partial x_{j}}\big(\overline{u_{i}}\,\overline{u_{j}}+0+0+\overline{u_{i}^{\prime}u_{j}^{\prime}}\big)=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial }{\partial x_{i}}\big(\overline{p}+0\big)+\nu\frac{\partial^2}{\partial x_{j}^2}\big(\overline{u_{i}}+0\big)+\overline{K_{i}}
\end{align*}

$\frac{\partial}{\partial x_{j}}\overline{u_{i}^{\prime}u_{j}^{\prime}}$を右辺に持っていくと、

\begin{align*}
\frac{\partial }{\partial t}\bigg(\overline{u_{i}}+u_{i}^{\prime}\bigg)+\frac{\partial \overline{u_{i}}\overline{u_{j}}}{\partial x_{j}}=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial \overline{p}}{\partial x_{i}}+\nu\frac{\partial^2 \overline{u_{i}}}{\partial x_{j}^2}+\overline{K_{i}}-\frac{\partial \overline{u_{i}^{\prime}{u_{j}^{\prime}}}}{\partial x_{j}}\tag{3}
\end{align*}

となります。

ちゃんと3成分で丁寧に書くと以下となります。

これをレイノルズ方程式といいます。
これがRANS(Reynolds-Averaged Navier-Stokes)と呼ばれる乱流モデルです。

ナビエストークス方程式と似たような平均流速における式がまた出てきました。
どこが違うのかというと、$-\frac{\partial \overline{u_{i}^{\prime}{u_{j}^{\prime}}}}{\partial x_{j}}$といった余分な項が出ている点です。

これがレイノルズ応力の部分です。
特に密度$\rho$をかけて、通常の粘性と一緒にまとめると

\begin{align*}
\frac{\partial}{\partial x_{j}}\bigg(\underset{通常の粘性（分子粘性)}{\mu\frac{\partial \overline{u_{j}}}{\partial x_{j}}}\,\,\,\,\underset{レイノルズ応力}{-\rho\overline{u_{i}^{\prime}{u_{j}^{\prime}}}}\bigg)
\end{align*}

※$\nu=\frac{\mu}{\rho}$

$-\rho\overline{u_{i}^{\prime}u_{j}^{\prime}}$が乱れ成分に起因するせん断応力であることがわかります。

レイノルズ応力を行列でまとめると、

\begin{align*}
\begin{pmatrix}
-\rho \overline{u^{\prime}_{1}u^{\prime}_{1}}& -\rho \overline{u^{\prime}_{1}u^{\prime}_{2}} & -\rho \overline{u^{\prime}_{1}u^{\prime}_{3}}\\
-\rho \overline{u^{\prime}_{2}u^{\prime}_{1}}& -\rho \overline{u^{\prime}_{2}u^{\prime}_{2}} & -\rho \overline{u^{\prime}_{2}u^{\prime}_{3}}\\
-\rho \overline{u^{\prime}_{3}u^{\prime}_{1}}& -\rho \overline{u^{\prime}_{2}u^{\prime}_{2}} & -\rho \overline{u^{\prime}_{3}u^{\prime}_{3}}\\
\end{pmatrix}\tag{4}
\end{align*}

まとめ

問題

レイノルズ方程式を書きなさい。
レイノルズ応力方程式を書きなさい

レイノルズ分解

\begin{align*}
u_{i}=\overline{u_{i}}+u_{i}^{\prime}\\
p=\overline{p}+p^{\prime}
\end{align*}

レイノルズ平均について、流速成分や圧力をまとめて$f$という記号で表すと、

乱れの平均は0：$\overline{f^{\prime}}=0$
平均と乱れは無相関：$\overline{\overline{f}f^{\prime}}=0$
「平均の平均」は平均$\overline{\overline{f}}=\overline{f}$

この仮定でレイノルズ方程式が導かれます。

レイノルズ方程式

るレイノルズ応力方程式と名前が似ている方程式に、レイノルズ応力の輸送方程式がありますが別物ですので注意を。

\begin{align*}
\frac{\partial \overline{u_{i}^{\prime}u_{j}^{\prime}}}{\partial t}+\frac{\partial \overline{u_{i}^{\prime}u_{j}^{\prime}}\, \overline{u_{k}}}{\partial x_{k}}&=\underset{レイノルズ応力の生成項：P_{ij}}{-\overline{u_{j}^{\prime}u_{k}^{\prime}}\frac{\partial \overline{u_{i}}}{\partial x_{k}}-\overline{u_{i}^{\prime}u_{k}^{\prime}}\frac{\partial \overline{u_{j}}}{\partial x_{k}}}\\
&+\underset{圧力-ひずみ相関：\Pi_{ij}}{\frac{1}{\rho}\overline{p^{\prime}\bigg(\frac{\partial u_{j}^{\prime}}{\partial x_{i}}+\frac{\partial u_{i}^{\prime}}{\partial x_{j}}\bigg)}}\\
&\underset{レイノルズ応力の散逸項:\varepsilon_{ij}}{-2\nu\frac{\partial \overline{u_{i}^{\prime}}}{\partial x_{k}}\frac{\partial \overline{u_{j}^{\prime}}}{\partial x_{k}}}\\
&\underset{レイノルズ応力の拡散項:J_{ij}}{-\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial x_{k}}\big(\overline{p^{\prime}u_{j}^{\prime}\delta_{ik}+p^{\prime}u_{i}^{\prime}\delta_{jk}}\big)+\nu\frac{\partial }{\partial x_{k}} \left\{\frac{\partial \overline{u_{i}^{\prime}u_{j}^{\prime}}}{\partial x_{k}} \right\}-\frac{\partial \overline{u_{i}^{\prime}u_{j}^{\prime}u_{i}^{\prime}}}{\partial x_{k}}}\tag{5}
\end{align*}

レイノルズ応力$-\rho \overline{u_{i}^{\prime}u_{j}^{\prime}}$の$\rho$とマイナスを取った$\overline{u_{i}^{\prime}u_{j}^{\prime}}$について輸送方程式がレイノルズ応力方程式です。
ですので、レイノルズ応力の輸送方程式と呼んだ方がレイノルズ方程式と区別しやすいですね。
レイノルズ方程式は、時間平均を取って変動分を加えたナビエストークス方程式で、通常のナビエストークス方程式との違いはレイノルズ応力$-\rho \overline{u_{i}^{\prime}u_{j}^{\prime}}$が加わることですが、このままではレイノルズ応力を求めることができず、レイノルズ応力のモデル化が必要になります。
その1つの方法としてレイノルズ応力の輸送方程式を立ててレイノルズ応力を求めるという方法を取ります。
それがレイノルズ応力の輸送方程式です。