解析力学

ラグランジュ未定乗数法：力のつり合いの式

こんにちは(@t_kun_kamakiri)(^^)/

そういえば前回、こんなこと書きました。

前回の記事はこちら

 

前回の復習を簡単にすると、

「ある関数U(x,y)がある拘束条件g(x,y)=0もとで最小となる場合を考えた時、どのような式が導かれるか？」

↓それって・・・（上の文面だけ見たら・・・）

運動方程式じゃない？？
もしくは力のつり合い？？

ってことは、「運動方程式」or「力のつり合い」に値するものではないか？？

 

前回は、下記のような絵を持ってきて例題を持ちだしました。

ここで、
「ある関数\(U(x,y)\)がある拘束条件\(g(x,y)=0\)(ひもの長さが固定)もとで最小となる場合を考えた時、どのような式が導かれるか？」

・・・・（ゴリゴリ計算）

そうすると、下記の式が出てきました。

\begin{align*}\rho g\int_{A}^{B}\frac{y x^{\prime}\delta x^{\prime}}{\sqrt{1+x^{\prime}}}dy+\lambda \int_{A}^{B}\frac{x^{\prime}\delta x^{\prime}}{\sqrt{1+x^{\prime}}}dy=0\cdot\cdot\cdot (A)\end{align*}

そしたら、僕はこんなことを思ったのです・・・

この問題はラグランジュ方程式から考えて(A)を導いたのですが、力のつり合いから考えて(A)が導けるのではないかと考えました。

そこで、本記事では力の釣り合いから(A)を導きたいと思います。

※実は計算があまりうまくいきませんでした。
最終的にはもう少しやさしい問題に変えて力の釣り合いから(A)のような形を導いています。

この記事を読むことで、ラグランジュ未定乗数法の\(\lambda\)の意味が少し見えてくると思います。

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目次
  1. 力のつり合いを考えよう
  2. 前回の僕の仮説に対する結論
  3. シンプルな問題で「ラグランジュ未定乗数法＝力のつり合いの式」を導く
    1. まずは、物体にかかる力を考えます
    2. 次に、拘束条件を考えます
    3. あ、もう一つ拘束条件がありました
    4. ラグランジュ未定乗数法の適用
    5. 整理すると・・・
  4. 次回
  5. 参考図書
    1. ランダウ力学
    2. 解析力学：マセマキャンパスゼミ
    3. 解析力学ⅠⅡ：朝倉物理学大系
    4. 詳解 力学演習

力のつり合いを考えよう

今考えている問題というのは下記のような状況ですね!(^^)!

 

絵のように微小区間としての力は、

  1. 重力：\(d\boldsymbol{F}=(0,\rho g d\boldsymbol{s})\)
  2. 張力：\(\boldsymbol{T}=(T_{x},T_{y})\)

この２つになりますね。
※ベクトル表記（太文字）にしてみました。

力のつり合いは、結局\(y\)方向だけ考えればよいのですが・・・・その前に・・・

張力がうっとおしいですね。

y方向の張力
\(T_{y}(s+ds)-T_{y}(s)\)がy方向の張力であるので、いつものように第1項をテーラー展開してdsの2次以降は無視してやります。

\begin{align*}T_{y}(s+ds)-T_{y}(s)=T_{y}(s)+\frac{T_{y}}{ds}ds-T_{y}(s)=\frac{dT_{y}}{ds}ds=\tau_{y}ds\cdot\cdot\cdot (1)\end{align*}

※見やすくするために、\(\tau_{y}=\frac{dT_{y}}{ds}\)とおきました。
単位長さ当たりの力ですね（SI単位系だとN/m）。確か表面張力もこんな単位だったような。。。

 

それじゃ～拡大した絵の微小領域で、力のつり合いの式を立てましょう(^^)/

y方向の力のつり合い

(1)と重力が釣り合っているとすると、

\begin{align*}\rho g ds-\tau_{y}ds=0\cdot\cdot\cdot (2)\end{align*}

はい、力のつり合いの式が出ました。微小区間ですが・・・
(2)式を区間AからBで積分すれば、全長でのひもの力のつり合いの式になりますね!(^^)!

(2)式を積分しましょう。

\begin{align*}\int_{A}^{B}\rho g ds-\int_{A}^{B}\tau_{y}ds=0\cdot\cdot\cdot (3)\end{align*}

そこで前回同様、

\begin{align*}ds=\sqrt{dx^2+dy^2}=dy\sqrt{1+\frac{dx}{dy}}=dy\sqrt{1+x^{\prime}}\end{align*}

とおくことで、(3)式は、

\begin{align*}\int_{A}^{B}\rho g\sqrt{1+x^{\prime}} dy-\int_{A}^{B}\tau_{y}\sqrt{1+x^{\prime}} dy=0\cdot\cdot\cdot (B)\end{align*}

このようになります。

やりました♪力のつり合いの式が出ました。。

前回出した式と比較してみましょう。。

今回：力のつり合いから出した式

\begin{align*}\int_{A}^{B}\rho g\sqrt{1+x^{\prime}} dy-\int_{A}^{B}\tau_{y}\sqrt{1+x^{\prime}} dy=0\cdot\cdot\cdot (B)\end{align*}

 

前回：下記の条件のもと出した式
ポテンシャルエネルギー\(U(x,y)\)が、拘束条件\(g(x,y)=0\)(ひもの長さが固定)もとで最小となる場合を考えて導出した式

\begin{align*}\rho g\int_{A}^{B}\frac{y x^{\prime}\delta x^{\prime}}{\sqrt{1+x^{\prime}}}dy+\lambda \int_{A}^{B}\frac{x^{\prime}\delta x^{\prime}}{\sqrt{1+x^{\prime}}}dy=0\cdot\cdot\cdot (A)\end{align*}

おー！！なんとも微妙に似ておりますな(笑)

(B)をの積分の中を\(x^{\prime}\)で微分できれば(A)になってくれそうな気配を感じます。。と、ここで僕は計算をやめちゃいました(笑)

何も複雑に計算をすることが目的ではなかったからです（言い訳・・・(*_*)）

次のような考察で十分でしょう。

(B)式は純粋に力のつり合いの式から求めました。

力を分解すると・・・

重力＋張力=0・・・(β)

(A)式は、ポテンシャルエネルギー（つまり重力に起因するエネルギー）と拘束条件（ひもの長さを固定）から未定数\(\lambda\)を導入して導きました。

だから次のように表現しても良いでしょう！

重力（に起因するポテンシャル項）＋拘束条件＝０・・・(α)

ここでなるほど、(β)と（α）を見比べたら、「張力⇔拘束条件」

すなわち、「拘束条件があるから張力が発生している」

と、このように結論付けることができました。

前回の僕の仮説に対する結論

「ある関数U(x,y)がある拘束条件g(x,y)=0もとで最小となる場合を考えた時、どのような式が導かれるか？」

↓それって・・・（上の文面だけ見たら・・・）

運動方程式じゃない？？
もしくは力のつり合い？？

ってことは、「運動方程式」or「力のつり合い」に値するものではないか？？

これに対しては、「力のつりあいの式に似たもの（(B)式）」が出ました(笑)

如何ともしがたいほど、ヌルッとした結論である。。

くやしい。。。どうして最後まで計算しなかったのか？

わからないからか？

どこか間違っているからか？

いや・・・・

最大の理由は、「積分とか微小区間とか、とにかく式がやかましい(笑)」

つまり、めんどくさすぎる！！

ってことで、シンプルにやっちゃいましょー(^^)/

シンプルな問題で「ラグランジュ未定乗数法＝力のつり合いの式」を導く

めちゃめちゃシンプルな「斜面に物体が乗っており、\(x=a\)の位置で滑らない(斜面上が\(y=0\)）」状況を考えたいと思います。

 

やりたいことは、「ラグランジュ未定乗数法を用いて力のつり合いの式になるか？」

これを見てみたいと思います。

まずは、物体にかかる力を考えます

\begin{align*}\boldsymbol{f}=(mg\sin\theta,-mg\cos\theta)\cdot\cdot\cdot (4)\end{align*}

x,y方向に力を分解すると、このようになりますね。

そして、重力はポテンシャルエネルギーなので、

\begin{align*}\boldsymbol{f}=-\boldsymbol{\nabla}U=\bigg(-\frac{\partial U}{\partial x},-\frac{\partial U}{\partial y}\bigg)\cdot\cdot\cdot (5)\end{align*}

(4)、(5)式をまとめると、

\begin{align*}\boldsymbol{f}=(mg\sin\theta,-mg\cos\theta)=\bigg(-\frac{\partial U}{\partial x},-\frac{\partial U}{\partial y}\bigg)\cdot\cdot\cdot (6)\end{align*}

となります。

次に、拘束条件を考えます

拘束条件は、斜面の上で止まっていますので、

\begin{align*}y=0\cdot\cdot\cdot (7)\end{align*}

となります。

そこで、毎度お馴染みの「ラグランジュ未定乗数法」を適用するために、(7)式を

\(g(x,y)=y\)とおけば、

拘束条件は、\(g(x,y)=0\cdot\cdot\cdot (8)\)

となります。

あ、もう一つ拘束条件がありました

もうひとつ拘束条件がありました(笑)

これだと滑り落ちますね・・・

\(x=a\)の位置で止まっています。

なので、\(h(x,y)=x-a\)とおき、

もうひとつ拘束条件、\(h(x,y)=0\cdot\cdot\cdot (9)\)

こちらを加えます。

ラグランジュ未定乗数法の適用

ラグランジュ未定乗数法は下記のような内容でしたね。

「ある関数\(U(x,y)\)がある拘束条件\(g(x,y)=0\)もとで最小となる場合を考えるた時、どのような式が導かれるか？」

↓それは

あらゆる仮想の変位\(\delta x\)、\(\delta y\)に対して

\begin{align*}\frac{\partial U}{\partial x}+\lambda\frac{\partial g}{\partial x}=0\end{align*}

\begin{align*}\frac{\partial U}{\partial y}+\lambda\frac{\partial g}{\partial y}=0\end{align*}

さっそく、(6)、(8)、(9)式を使って上の式にぶち込みましょう！！

あれ？今の場合は、拘束条件が2つ（(8)、(9)式）ありますね。

足しちゃえ(笑)

\begin{align*}\frac{\partial U}{\partial x}+\lambda_{1}\frac{\partial g}{\partial x}+\lambda_{2}\frac{\partial h}{\partial x}=0\end{align*}

\begin{align*}\frac{\partial U}{\partial y}+\lambda_{1}\frac{\partial g}{\partial y}+\lambda_{2}\frac{\partial h}{\partial y}=0\end{align*}

・・・

・・・

さて、やりましょう♪

\begin{align*}\frac{\partial U}{\partial x}+\lambda_{1}\frac{\partial g}{\partial x}+\lambda_{2}\frac{\partial h}{\partial x}=0\end{align*}

↓

\begin{align*}-mg\sin\theta+0+\lambda_{2}=0\cdot\cdot\cdot (10)\end{align*}

\begin{align*}\frac{\partial U}{\partial y}+\lambda_{1}\frac{\partial g}{\partial y}+\lambda_{2}\frac{\partial h}{\partial y}=0\end{align*}

↓

\begin{align*}mg\cos\theta+\lambda_{1}+0=0\cdot\cdot\cdot (11)\end{align*}

(10)×\(\lambda_{1}\)-(11)×\(\lambda_{2}\)とすると、

\begin{align*}\lambda_{1}mg\sin\theta+\lambda_{2}mg\cos\theta=0\end{align*}

おー！

\begin{align*}\mu=-\frac{\lambda_{2}}{\lambda_{1}}\end{align*}

とおけば、

\begin{align*}mg\sin\theta=\mu mg\cos\theta\cdot\cdot\cdot (12)\end{align*}

力のつり合いの式になりました。

※\(\lambda_{1}\)、\(\lambda_{2}\)は特に正負はこだわらなくてもよかったのでしたよね。

\(\mu\)が俗に言う静止摩擦係数ですね。

整理すると・・・

\begin{align*}-mg\sin\theta+0+\lambda_{2}=0\cdot\cdot\cdot (10)\end{align*}

\(\lambda_{2}\)は何に起因しているのですか？

それは、「\(x=a\)の拘束条件」です。

「\(x=a\)で拘束されているのはなぜですか？」

それは、「摩擦力があるから」です。

\begin{align*}mg\cos\theta+\lambda_{1}+0=0\cdot\cdot\cdot (11)\end{align*}

\(\lambda_{1}\)は何に起因しているのですか？

それは、「y=0の拘束条件」です。

「\(y=0\)で拘束されているのはなぜですか？」

それは、「垂直抗力が働いているから」です。

このようになります。

ところで、

\begin{align*}mg\sin\theta=\mu mg\cos\theta\cdot\cdot\cdot (12)\end{align*}

を導くのに、「摩擦力」も「垂直抗力」も一言も使わずに導きましたよね。

とても不思議です。

出発点は、あくまで

「ある関数\(U(x,y)\)がある拘束条件\(g(x,y)=0\)もとで最小となる場合を考えるた時、どのような式が導かれるか？」

だけです。

その手法が、ラグランジュ未定乗数法というのですが、実は・・・

ある関数\(U(x,y)\)がある拘束条件\(g(x,y)=0\)もとで最小になるように状態が実現している・・・

と、このように解釈できます・・・と勝手に解釈しています。（もしくはそうなるように人が数式を構築している・・・）

次回

いったい、ランダウ＝リフシッツの”力学”のお話はどこにいったのやら・・・(笑)

だが、まだ脱線は続くのです♪

次回は、

ハミルトンの原理についてまとめましょうかね!(^^)!

次回の記事はこちら

 

参考図書

いくつかおすすめの解析力学の参考書を挙げておきます。

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