ラグランジュ未定乗数法　例題演習：解析力学とのつながり

2018/03/31

2019/04/17

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korokoro

どうも(^^)

本記事はもともと、「ランダウ=リフシッツの”力学”をいきなり読むと挫折する説」というタイトルから始まり、なぜ挫折するのかを解説してきました。

いきなりランダウ=リフシッツの”力学”読んだら物理で絶望する説

上の記事で詳しく書いてあるのですが、理由はシンプルで

「これは一般的に言う”力学”の教科書ではなく”解析力学”だからなのです。」

ということでした。

それから、第3報まではラグランジュ方程式を導くための解説をしましたが、前回なぜか下記のように
突然「ラグランジュ未定乗数法」というお話をし出しました。

ラグランジュ未定乗数法：解析力学とのつながり

理由は、”力学”や”解析力学”とは関係なく以下のように考えてみたらどうなるのかを示したいと考え始めたからです。

「ある関数\(U(x,y)\)がある拘束条件\(g(x,y)=0\)もとで最小となる場合を考えた時、どのような式が導かれるか？」
↓その問いに答えてくれそうなのが数学的には、
あらゆる仮想の変位\(\delta x\)、\(\delta y\)に対して
\begin{align*}\frac{\partial U}{\partial x}+\lambda\frac{\partial g}{\partial x}=0\end{align*}

\begin{align*}\frac{\partial U}{\partial y}+\lambda\frac{\partial g}{\partial y}=0\end{align*}

という式になります。これをラグランジュ未定乗数法というのだそうです。

↑上の2式が物理学でいうところの何になるかは、次回以降の記事で示すことにして、

本記事の目標
ラグランジュ未定乗数法を使って問題演習をしてみましょう(^^)/
問題：
「\(x^2+2xy+y^2=1\)の条件のもとで、\(U(x,y)=x^2+3y^2\)が極値をもつ点\((x,y)\)を求めよ」

Contents

1 方針
2 (2)式を使うため偏微分を実行
3 (1)式の拘束条件に代入
4 答え
5 番外編：極値ってだけで最小じゃない？
6 最小か最大か見てみよう
7 まとめ
8 ところで・・・
9 次回
10 参考図書

方針

問題は、
拘束条件\(g(x,y)=x^2+2xy+y^2-1\)とおけば、
\(g(x,y)=0\)のもとで、\(U(x,y)=x^2+3y^2\)が極値をもつ点\((x,y)\)を求めることになります。

したがって、前回示したように、

\begin{align*}g(x,y)=0\cdot\cdot\cdot (1)\end{align*}

の条件のもと、

\begin{align*}\frac{\frac{\partial U}{\partial x}}{\frac{\partial U}{\partial y}}=\frac{\frac{\partial g}{\partial x}}{\frac{\partial g}{\partial y}}=\lambda\cdot\cdot\cdot (2)\end{align*}

を満たす\((x,y)\)を探せばよいだけです。

(2)式を使うため偏微分を実行

まずは(2)式を使うために、\(U(x,y)\)、\(g(x,y)\)それぞれ偏微分しましょう。

\begin{align*}\frac{\partial U}{\partial x}=2x\end{align*}

、

\begin{align*}\frac{\partial U}{\partial y}=6y\cdot\cdot\cdot (3)\end{align*}

\begin{align*}x=3y\cdot\cdot\cdot (5)\end{align*}

となりました。

\begin{align*}\frac{\partial g}{\partial x}=2x+2y\end{align*}

、

\begin{align*}
\frac{\partial U}{\partial y}=2x+2y\cdot\cdot\cdot (4)\end{align*}

これらを(2)式に代入して、

\begin{align*}\frac{2x}{6y}=\frac{2x+2y}{2x+2y}\end{align*}

より

(1)式の拘束条件に代入

あとは、出てきた(5)式を(1)式の拘束条件に代入すれば解けますね(^^)

\begin{align*}3y^2+2(3y)y+y^2-1=0\end{align*}

より、

\begin{align*}y=\pm \frac{1}{\sqrt{10}}\cdot\cdot\cdot (6)\end{align*}

となります。

答え

ゆえに、拘束条件\(g(x,y)=0\)のもとで、\(U(x,y)=x^2+3y^2\)が極値となる点は、

\begin{align*}(x,y)=(\frac{3}{\sqrt{10}},\frac{1}{\sqrt{10}})\end{align*}

と、

\begin{align*}(x,y)=(-\frac{3}{\sqrt{10}},-\frac{1}{\sqrt{10}})\end{align*}

と2つ出てきましたね。

これが答えです。

一応、そのときの\(U\)の値も求めておくと、

\begin{align*}U(\pm \frac{3}{\sqrt{10}},\pm \frac{1}{\sqrt{10}})=\frac{2}{5}\end{align*}

となります。

なんともあっさりと(笑)

問題演習は以上となります。

感覚はつかんで頂けましたしょうか？

番外編：極値ってだけで最小じゃない？

答えは出たのですが・・・

僕は、最初から「ある拘束条件\(g(x,y)=0\)のもと\(U(x,y)=0\)が最小となる点」を求めたかったのに、

これじゃあ極値（停留点）をもとめただけで、”最大か最小かも区別できないじゃないか”ってことになっています。

証明は簡単なので、以下にさらっと示しておきましょう(^^)/

なにも難しいことを考えずに、

変分\(\delta x\)、\(\delta y\)、つまりちょっとずらしたときに\(U(x,y)\)が増加しているのか減少しているのかを区別すれば良いだけです。

\begin{align*}U(x+\delta x,y+\delta y)-U(x,y)\end{align*}

↑こいつの大小を見ればよいはず！・・・（☆）

では、

\begin{align*}U(x+\delta x,y+\delta y)\end{align*}

を\(\delta x\)、\(\delta x\)の2次の項までテーラー展開してみましょう。

\begin{align*}U(x+\delta x,y+\delta y)=U(x,y)+\frac{\partial U}{\partial x}\delta x+\frac{\partial U}{\partial y}\delta y+\frac{1}{2}\frac{\partial ^2U}{\partial x^2}\delta x^2+\frac{\partial ^2U}{\partial xy}\delta xy+\frac{1}{2}\frac{\partial ^2U}{\partial y^2}\delta y^2\end{align*}

と、こうなります。

ところで、今は極値のまわりの点\((x,y)\)でテーラー展開しようとしているのですから、
当然・・・

\begin{align*}\frac{\partial U}{\partial x}=\frac{\partial U}{\partial y}=0\end{align*}

です。

なので、

\begin{align*}U(x+\delta x,y+\delta y)-U(x,y)＝\frac{1}{2}\frac{\partial ^2U}{\partial x^2}\delta x^2+\frac{\partial ^2U}{\partial xy}\delta xy+\frac{1}{2}\frac{\partial ^2U}{\partial y^2}\delta y^2\end{align*}

となりました。

右辺がめちゃくちゃ見ずらいので、このように文字でおいてすっきりさせましょう。

\begin{align*}\frac{1}{2}\frac{\partial ^2U}{\partial x^2}=a\end{align*}

\begin{align*}\frac{\partial ^2U}{\partial xy}=b\end{align*}

\begin{align*}\frac{1}{2}\frac{\partial ^2U}{\partial y^2}=c\end{align*}

\begin{align*}\delta x=s\end{align*}

\begin{align*}\delta x=t\end{align*}

そうすると、
右辺＝\(as^2+bst+ct^2\)なります。

(☆)に立ち返ると、\(as^2+bst+ct^2\)が正か負かを単純に見ればよいことになります。

\begin{align*}as^2+(bt)s+(ct^2)\end{align*}

とおけばどうですかね。
ただのsに関する2次関数ですね。

Q.\(t\)も変数じゃないかーー！！
A.\(t\)を固定したときに正か負かを知れば良いので、変数かどうかはこだわらなくても良いです。

Q.\(t\)に関する2次関数にしたらどうなるんだーー！！
A.式をみれば文字の置き方次第で\(s\)と(t\)は対称なのでどちらに関する2次関数と見ても大して差し支えないです。

ここで、高校生の知識の登場です。

「判別式\(D=(bt)^2-4a(ct)=t^2(b^2-4ac)\)の正負を考えればよい。」

正の値t\(^2\)が邪魔なので、

「判別式\(D=b^2-4ac\)の正負を考えればよい。」

このようになりましたので、下記がその一覧です。

まとまりました(^^)

\(D>0\)や\(D=0\)なんかは、どの\(t\)に対しても正負がはっきり分かれているわけではないので、極値に対してはとても怪しい点という感じでしょうかね。

しかし、危ないですね。

\begin{align*}g(x,y)=0\cdot\cdot\cdot (1)\end{align*}

の条件のもと、
\begin{align*}\frac{\frac{\partial U}{\partial x}}{\frac{\partial U}{\partial y}}=\frac{\frac{\partial g}{\partial x}}{\frac{\partial g}{\partial y}}=\lambda\cdot\cdot\cdot (2)\end{align*}

を満たす\((x,y)\)を求める。

だけだと、極値をもとめる必要条件であって十分条件ではないということですね。

確かに、極小かなと思っても、停留しているだけでまた下がり始めるなんてこともありますし、確認は必要ということですかね。