ルジャンドル変換：イメージ図と利用例を挙げてみた

本日は、ルジャンドル変換を勉強したのでまとめてみました(^^)/

このルジャンドル変換は数学的にもっと奥が深いような気がしますが、現時点の自分が理解した範囲で記述しようと思います。

まずはルジャンドル変換の意味と、その応用例を示しましょう。

ルジャンドル変換を絵でイメージ
1. 『様々な\(p\)により、\(f(x))\)の接線となる\(p\)とは\(min(f(x)-(px-g(p))=0\)と表現できます』
2. 『\((x,p)\)の組み合わせなら\((x,f(x))\)の集合』
ルジャンドル変換の利用例
1. 解析力学
2. 熱力学
まとめ
次回
完全な余談

ルジャンドル変換を絵でイメージ

ルジャンドル変換(数学者：アドリアン＝マリ・ルジャンドル）
凸解析において、関数の変数を変えるために用いられる変換

『下に凸な関数 f(x) は (x, f(x)) の点の集合によって表現できるが、
”傾き”と”y切片”の値で指定される接線の集合によっても表現できる』

ということに基いています。

「関数の変数を変える」というのを式で書くと、

\(g(p)=min(px-f(x))\)
※\(p=\frac{df(x)}{dx}\)

ルジャンドル変換は\(f(x)\)から別の関数\(g(p)\)を作り出す手続き。

言葉で言われてもよくわかりません(笑)

上述の表現を絵で書いてみます。

様々な\(p\)と書いていますが、\(x\)を動かして\(f(x)\)の接線になるように\(p\)を選ぶことにします。

ここで、y切片の\(y_{0}\)は傾き\(p\)の値によって変化するので、\(p\)の関数と見て\(y_{0}=g(p)\)と置きます。

すると、\((x,f(x))\)の集合を\(y=px-g(p)\)で表現できそうです。

\((x,f(x))\)の集合について特に、

『様々な\(p\)により、\(f(x))\)の接線となる\(p\)とは\(min(f(x)-(px-g(p))=0\)と表現できます』

↓そうなるような
『\((x,p)\)の組み合わせ』

なら\((x,f(x))\)の集合を表現できていますね。

ひとつひとつ絵で書いてみましょう。

『様々な\(p\)により、\(f(x))\)の接線となる\(p\)とは\(min(f(x)-(px-g(p))=0\)と表現できます』

これを絵で書きます。

単に\(y=px-y_{0}\)ならこのように適当に、接線と言わず直線を引けます。

色々\(x\)を動かしていったときに、\(f(x)\)とこの直線の\(y\)座標との差が最小になるように\(p\)を決めます。

それが式で表現すると、\(min(f(x)-(px-g(p))=0\)となります。

それを絵で表現すると下記のように青の距離\(f(x)-(px-y_{0})\)などではなく、赤丸●の部分（距離が0、すなわち接線にしたとき）を示しています。
この時直線は赤色のように\(f(x)\)の接線になっています。

これによって決められた\(y_{0}\)が\(y_{0}=g(p)\)となります。

\(min(f(x)-(px-g(p))=0\)は、\(g(p)=min((px-f(x)\)と見ることもできます。

すなわち、ルジャンドル変換は\(f(x)\)から別の関数\(g(p)\)を作り出す手続きであると見れます。

『\((x,p)\)の組み合わせなら\((x,f(x))\)の集合』

これを絵で書くと、赤丸●の部分だけの集合で\((x,f(x))\)が表現できていることがわかります。

ルジャンドル変換

\(g(p)=min(px-f(x))\)
※\(p=\frac{df(x)}{dx}\)

ルジャンドル変換は\(f(x)\)から別の関数\(g(p)\)を作り出す手続き。

これは特に\((x,f(x))\)を、変数\(p\)として\((p,g(p))\)と見ることができる（と解釈しています(笑)）。

※\(p=\frac{df(x)}{dx}\)や\(y_{0}\)の符号はどちらでも良いような気がします（自信なし・・・）。

絵では\(p\)も\(y_{0}\)も正の値っぽく書きましたが、別に絵の書き方によっては負の値に見えててもいいわけですよね。