ポアッソン括弧式が任意の正準変換に対して不変

どうも!(^^)!

最近、ポアッソン括弧式というのを記事を書いております。

前回の記事はこちら

もう３つも記事を書いたのですが、今日はですね・・・

ポアッソン括弧式が任意の正準変換に対して不変というのを示したいと思います。

まずポアッソン括弧式というのを復習します。

ポアッソン括弧式
\(\{q_{i}\},\{p_{i}\}\)を変数とする、関数\(f(\{q_{i}\},\{p_{i}\})\)と\(g(\{q_{i}\},\{p_{i}\})\)に対して、
\begin{align*}\{f,g\}_{q,p}=\sum_{k}\big( \frac{\partial f}{\partial q_{k}}\frac{\partial g}{\partial p_{k}}-\frac{\partial f}{\partial p_{k}}\frac{\partial g}{\partial q_{k}}\big)\cdot\cdot\cdot (1)\end{align*}

ポアッソン括弧式は、上記のように偏微分の形を①のように書くことを意味しています。

まずは、「ポアッソン括弧式が任意の正準変換に対して不変」って具体的に何をすることを言っているのか？を示した後で、その証明を行いたいと思います。

ポアッソン括弧式が任意の正準変換に対して不変とは？
(3)の証明
まとめ

ポアッソン括弧式が任意の正準変換に対して不変とは？

変数\(\{q_{i}\},\{p_{i}\}\)とする任意の関数\(f(\{q_{i}\},\{p_{i}\}),g(\{q_{i}\},\{p_{i}\})\)に対して、ポアッソン括弧式を、

\begin{align*}\{f,g\}_{q,p}=\sum_{i}\big( \frac{\partial f}{\partial q_{i}}\frac{\partial g}{\partial p_{i}}-\frac{\partial f}{\partial p_{i}}\frac{\partial g}{\partial q_{i}}\big)\cdot\cdot\cdot (1)\end{align*}

とします。

変数\(\{Q_{i}\},\{P_{i}\}\)に正準変換した関数を、\(f(\{Q_{i}\},\{P_{i}\}),g(\{q_{i}\},\{p_{i}\})\)とすると、ポアッソン括弧式は、

\begin{align*}\{f,g\}_{Q,P}=\sum_{i}\big( \frac{\partial f}{\partial Q_{i}}\frac{\partial g}{\partial P_{i}}-\frac{\partial f}{\partial P_{i}}\frac{\partial g}{\partial Q_{i}}\big)\cdot\cdot\cdot (2)\end{align*}

と書けます。

「ポアッソン括弧式が任意の正準変換に対して不変」とは、
→①と②が等しい
つまり、
\begin{align*}\{f,g\}_{q,p}=\{f,g\}_{Q,P}\cdot\cdot\cdot (3)\end{align*}
のことを指します。

次に③が本当に成り立つのか見ていきましょう(^^)/

(3)の証明

正準変換とは、元の変数\(\{q_{i}\},\{p_{i}\}\)から別の変数\(\{Q_{i}\},\{P_{i}\}\)のように、変換した後の変数\(\{Q_{i}\},\{P_{i}\}\)もハミルトンの正準方程式の形式を保っているような変換のことを言います。

具体的には、

\begin{align*}Q_{i}=Q_{i}(\{q_{i}\},\{p_{i}\},t)\cdot\cdot\cdot (4)\end{align*}

\begin{align*}P_{i}=P_{i}(\{q_{i}\},\{p_{i}\},t)\cdot\cdot\cdot (5)\end{align*}

ハミルトンの正準方程式の形を不変に保つようにするので、変換後も

ハミルトンの正準方程式

\begin{align*}\frac{dQ_{i}}{dt}=\frac{\partial {H}’}{\partial P_{i}}\end{align*}

\begin{align*}\frac{dP_{i}}{dt}=-\frac{\partial {H}’}{\partial Q_{i}}\end{align*}

が成り立つような変数変換を、正準変換と言います。

任意の関数、\(f(\{q_{i}\},\{p_{i}\}),g(\{q_{i}\},\{p_{i}\})\)から\(f(\{Q_{i}\},\{P_{i}\}),g(\{q_{i}\},\{p_{i}\})\)と変数を変えても③が成り立つことを示せば良いのですね!(^^)!

この(1)式、

に対して、\(g\)を\(\{Q_{i}\}\)と\(\{P_{i}\}\)の関数としていると、

\begin{align*}\{f,g\}_{q,p}=\sum_{i}\bigg( \frac{\partial f}{\partial q_{i}}\sum_{j}\big( \frac{\partial g}{\partial Q_{j}}\frac{\partial Q_{j}}{\partial p_{i}}+\frac{\partial g}{\partial P_{j}}\frac{\partial P_{j}}{\partial p_{i}})\end{align*}

\begin{align*}-\frac{\partial f}{\partial p_{i}}\sum_{j}\big( \frac{\partial g}{\partial Q_{j}}\frac{\partial Q_{j}}{\partial q_{i}}+\frac{\partial g}{\partial P_{j}}\frac{\partial P_{j}}{\partial q_{i}})\bigg)\cdot\cdot\cdot (6)\end{align*}

ちょっと複雑に見えますが、

\begin{align*}\frac{\partial g}{\partial p_{i}}=\sum_{j}\big( \frac{\partial g}{\partial Q_{j}}\frac{\partial Q_{j}}{\partial p_{i}}+\frac{\partial g}{\partial P_{j}}\frac{\partial P_{j}}{\partial p_{i}})\end{align*}

と

\begin{align*}\frac{\partial g}{\partial q_{i}}=\sum_{j}\big( \frac{\partial g}{\partial Q_{j}}\frac{\partial Q_{j}}{\partial q_{i}}+\frac{\partial g}{\partial P_{j}}\frac{\partial P_{j}}{\partial q_{i}})\end{align*}

とを①式に代入すると⑥式になったというだけです。

ここで、\(i\)だけに注目すると、ポアッソン括弧式で書けるのではないでしょうか・・・・

\begin{align*}\{f,g\}_{q,p}=\sum_{j}\bigg(\frac{\partial g}{\partial Q_{j}}\{f,Q_{j}\}_{q,p}+\frac{\partial g}{\partial P_{j}}\{f,P_{j}\}_{q,p}\bigg)\cdot\cdot\cdot (7)\end{align*}

こんな感じになります。

もう、(3)を証明する下地は済んだようなものです。

あと、(3)の証明には、前回の記事の結果が必要ですので、記載しておきます。

\begin{align*}\{Q_{i},Q_{j}\}_{q,p}=0\cdot\cdot\cdot (8)\end{align*}

\begin{align*}\{P_{i},P_{j}\}_{q,p}=0\cdot\cdot\cdot (9)\end{align*}

\begin{align*}\{Q_{i},P_{j}\}_{q,p}=\delta {ij}\cdot\cdot\cdot (10)\end{align*}

>>ポアッソン括弧式を用いた正準変換であるための必要十分条件（第20.3報）

↑タイトルの通り、正準変換であるための必要十分条件が(8)(9)(10)です。

(7)式の\(f\)→\(Q_{i}\)へ、\(g\)→\(f\)に替える

\begin{align*}\{Q_{i},f\}_{q,p}=\sum_{j}\frac{\partial f}{\partial Q_{j}}\{Q_{i},Q_{j}\}_{q,p}+\sum_{j}\frac{\partial f}{\partial P_{j}}\{Q_{i},P_{j}\}_{q,p}\cdot\cdot\cdot (11)\end{align*}

ここで、(8)(10)式を使います。

すると、第一項は0になるので消すとして、

\begin{align*}\{Q_{i},f\}_{q,p}=\sum_{j}\frac{\partial f}{\partial P_{j}}\delta_{ij}\cdot\cdot\cdot (12)\end{align*}

\(j\)についての和ですが、\(i=j\)の時だけ残るので、

\begin{align*}\{Q_{i},f\}_{q,p}=\frac{\partial f}{\partial P_{i}}\cdot\cdot\cdot (13)\end{align*}

となります!(^^)!

(7)式の\(f\)→\(P_{i}\)へ、\(g\)→\(f\)に替える

\begin{align*}\{P_{i},f\}_{q,p}=\sum_{j}\frac{\partial f}{\partial Q_{j}}\{P_{i},Q_{j}\}_{q,p}+\sum_{j}\frac{\partial f}{\partial P_{j}}\{P_{i},P_{j}\}_{q,p}\cdot\cdot\cdot (14)\end{align*}

ここで、(9)(10)式を使います。

すると、第二項は0になるので消すとして、

\begin{align*}\{P_{i},f\}_{q,p}=-\sum_{j}\frac{\partial f}{\partial Q_{j}}\delta_{ij}\cdot\cdot\cdot (13)\end{align*}

\(j\)についての和ですが、\(i=j\)の時だけ残るので、

\begin{align*}\{P_{i},f\}_{q,p}=-\frac{\partial f}{\partial Q_{i}}\cdot\cdot\cdot (14)\end{align*}

となります!(^^)!

(13)(14)式を(7)式に代入

\begin{align*}\{Q_{i},f\}_{q,p}=-\{f,Q_{i}\}_{q,p}\end{align*}

\begin{align*}\{P_{i},f\}_{q,p}=-\{f,P_{i}\}_{q,p}\end{align*}

\begin{align*}\{f,g\}_{q,p}=\sum_{j}\bigg(\frac{\partial g}{\partial Q_{j}}(-\frac{\partial f}{\partial P_{i}})+\frac{\partial g}{\partial P_{j}}(\frac{\partial f}{\partial Q_{j}})\bigg)\end{align*}

⇔

\begin{align*}\{f,g\}_{q,p}=\sum_{j}\big(\frac{\partial f}{\partial Q_{j}}\frac{\partial g}{\partial P_{j}}-\frac{\partial f}{\partial P_{i}}\frac{\partial g}{\partial Q_{j}}\big)\cdot\cdot\cdot (15)\end{align*}

やりました!(^^)!

左辺を、

\begin{align*}\{f,g\}_{Q,P}=\sum_{j}\big(\frac{\partial f}{\partial Q_{j}}\frac{\partial g}{\partial P_{j}}-\frac{\partial f}{\partial P_{i}}\frac{\partial g}{\partial Q_{j}}\big)\cdot\cdot\cdot (16)\end{align*}

と、ポアッソン括弧式に書けますので、

\begin{align*}\{f,g\}_{q,p}=\{f,g\}_{Q,P}\cdot\cdot\cdot (3)\end{align*}

を示すことができました(^^♪