【第15回Python流体の数値計算】2次元ポアソン方程式をPythonで実装する。
こんにちは(@t_kun_kamakiri)。
前回の記事では、「2次元のラプラス方程式」をGoogle Colab上でPythonで実装しました。
今回は、以下のような２次元のポアソン方程式をPythonで実装します。
本件の基本的な内容はこちらのサイトにそってやっていきます。
この記事ではこんな人を対象にしています。
- Pythonを使い始めたけどどう使うかわからない
- 流体の数値計算をはじめて勉強する人
２次元のポアソン方程式の数値計算をPythonで実装
Contents
ポアソン方程式
まずは、
- ポアソン方程式がどういう式なのか
- ナビエストークス方程式のを解く際のポアソン方程式の使われ方
を復習しておきましょう。
流体現象を扱う際に「ナビエストークス方程式」と「質量保存則」を連立して解く必要があります。
ナビエストークス方程式
\begin{align*}
\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x}+\nu \left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} \right)\tag{1}
\end{align*}\begin{align*}
\frac{\partial v}{\partial t}+u\frac{\partial v}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial y} = -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial y}+\nu\left(\frac{\partial^2 v}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 v}{\partial y^2}\right) \tag{2}
\end{align*}質量保存則（非圧縮条件\(\nabla\cdot\boldsymbol{v}=0\)から導出）\begin{align*}
\frac{\partial^2 p}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 p}{\partial y^2} = b(x,y)\tag{3.1}
\end{align*}\begin{align*}
b(x,y)=-\rho\left(\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial u}{\partial x}+2\frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}\frac{\partial v}{\partial y} \right)\tag{3.2}
\end{align*}(3.1)式の形がポアソン方程式
\frac{\partial ^2 p}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 p}{\partial y^2} = 0
\end{align*}
\frac{\partial ^2 p}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 p}{\partial y^2} = b(x,y)
\end{align*}
\frac{\partial ^2 \phi}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 \phi}{\partial y^2} = -\frac{\rho(\boldsymbol{r})}{\epsilon}
\end{align*}
ポアソン方程式を離散化
ポアソン方程式は偏微分の方程式なので、離散化して代数的に取り扱えるようにしないと数値計算ができません。
\frac{p_{i+1,j}^{n}-2p_{i,j}^{n}+p_{i-1,j}^{n}}{\Delta x^2}+\frac{p_{i,j+1}^{n}-2 p_{i,j}^{n}+p_{i,j-1}^{n}}{\Delta y^2}=b_{i,j}^{n}\tag{4}
\end{align*}
p_{i,j}^{n}=\frac{(p_{i+1,j}^{n}+p_{i-1,j}^{n})\Delta y^2+(p_{i,j+1}^{n}+p_{i,j-1}^{n})\Delta x^2-b_{i,j}^{n}\Delta x^2\Delta y^2}{2(\Delta x^2+\Delta y^2)}\tag{5}
\end{align*}
p_{i,j}^{n}=\frac{p_{i+1,j}^{n}+p_{i-1,j}^{n}+p_{i,j+1}^{n}+p_{i,j-1}^{n}-b_{i,j}^{n}\Delta x^2}{4}\tag{6}
\end{align*}
青文字は境界条件で値が与えられているので、既知の値です。
これを見ればわかるように、(i,j)の格子点での圧力はその周りの圧力の平均値として計算しています。
境界条件を設定
ポアソン方程式は、時間発展の方程式ではなく、境界条件によって空間分布の解が与えられる方程式なので、境界条件を設定する必要があります。
今回与える境界条件は以下のようにします。
- \(x=0, 2\)：\(p=0\)
- \(y=0, 1\)：\(p=0\)
- \(i=\frac{1}{4}nx, j=\frac{1}{4}ny\)：\(b_{i,j}=100\)
- \(i=\frac{3}{4}nx, j=\frac{3}{4}ny\)：\(b_{i,j}=-100\)
ちょっとわかりにくいかもしれないので、絵にしてみました。
ポアソン方程式をPythonで実装
- 必要なライブラリをインポートする。
コードを以下のように書きます。
1 2 3 4 | import numpy as np from matplotlib import pyplot as plt from matplotlib import cm from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D |
NumpyとMatplotlibをインポートします。
記述ミスがなければエラーなく進みます。
- 初期状態を設定
- 境界条件を設定
コードを以下のように書きます。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 | # 条件設定 nx = 50 ny = 50 nt = 100 xmin = 0 xmax = 2 ymin = 0 ymax = 1 dx = (xmax - xmin) / (nx - 1) dy = (ymax - ymin) / (ny - 1) # 初期状態 p = np.zeros((ny, nx)) pd = np.zeros((ny, nx)) b = np.zeros((ny, nx)) x = np.linspace(xmin, xmax, nx) y = np.linspace(xmin, xmax, ny) # 点源 b[int(ny / 4), int(nx / 4)] = 100 b[int(3 * ny / 4), int(3 * nx / 4)] = -100 |
これで、初期状態の圧力のプロファイルができています。
初期状態と言っても、境界条件を課しただけですので初期の状態には何の意味もありません。
あくまで境界条件をもとにラプラス方程式を解いて得られた圧力分布に意味があるので、初期状態はその最終状態を得るための種を与えているにすぎません。
p_{i,j}^{n}=\frac{p_{i+1,j}^{n}+p_{i-1,j}^{n}+p_{i,j+1}^{n}+p_{i,j-1}^{n}-b_{i,j}^{n}\Delta x^2}{4}\tag{6}
\end{align*}
コードを以下のように書きます。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 | for it in range(nt): pd = p.copy() p[1:-1,1:-1] = (((pd[1:-1, 2:] + pd[1:-1, :-2]) * dy**2 + (pd[2:, 1:-1] + pd[:-2, 1:-1]) * dx**2 - b[1:-1, 1:-1] * dx**2 * dy**2) / (2 * (dx**2 + dy**2))) p[0, :] = 0 p[ny-1, :] = 0 p[:, 0] = 0 p[:, nx-1] = 0 |
これで最終状態の圧力の分布が計算されました。
前回のラプラス方程式を解いた際には、全ての格子点上の値の合計と前のステップでの値の合計とを比較して、「1e-4（0.01%)」以下の誤差になれば収束したと判定していましたが、今回は収束条件を反復回数（100回）にしています。
※反復計算には「ヤコビ法」と呼ばれる方法で計算しています。
では、次に収束した圧力分布を可視化してみてみましょう。
コードを以下のように書きます。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 | def plot2D(x, y, p): fig = plt.figure(figsize=(11, 7), dpi=100) ax = fig.gca(projection='3d') X, Y = np.meshgrid(x, y) surf = ax.plot_surface(X, Y, p[:], rstride=1, cstride=1, cmap=cm.viridis,linewidth=0, antialiased=False) ax.view_init(30, 225) ax.set_xlabel('$x$') ax.set_ylabel('$y$') ax.set_zlabel('$p$') |
これで、可視化するための関数が完成したので、以下のように関数を呼び出して圧力分布を可視化してみましょう。
1 | plot2D(x, y, p) |
【結果】
このようになればOKです(^^)/
コンター図も作成してみる
Matplotlibの公式ドキュメントは非常にわかりやすい（たぶんPythonがわかりやすいから）ので、コンター図もサクッとさくせいできます。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 | #オブジェクトを生成 fig = plt.figure(figsize=(11,7), dpi=100) fig xmin = 0 xmax = 2 ymin = 0 ymax = 2 x = np.linspace(xmin, xmax, nx) y = np.linspace(xmin, xmax, ny) X, Y = np.meshgrid(x, y) plt.contourf(X, Y, p, alpha=0.5, cmap=cm.viridis) plt.colorbar() plt.xlabel('X') plt.ylabel('Y') |
【結果】
このように圧力の分布もコンターで可視化できます。
まとめ
今回は、2次元のポアソン方程式をPythonで実装してみました。
本記事のシリーズを読むことでPythonを使ったナビエストークス方程式の実装まではいけると思いますので、是非最後までお付き合いくださいm(__)m
次回は、いよいよナビエストークス方程式をPythonで実装してみたいと思います(^^)/
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特に、非線形方程式で記述できる流体現象のようなものは注意深く数値解法を選択しなくてはいけません。
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数値計算の書籍
今回紹介したポアソン方程式は「ヤコビ法」と呼ばれる反復計算を行っていますが、その他の有名な数値的解法のをいくつか挙げておきます。
- ガウス消去法（直接法）
- ガウス・ジョルダン法（直接法）
- ヤコビ法（反復法）
- ガウス・ザイデル法（反復法）
- SOR法（反復法）
などがあります。
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数値計算の闇について詳しく知りたい方は、☟こちらの参考書も合わせてお読みください。
Comment
(5)式から(6)式への式変形のところで質問があります。
Δx=Δyとした場合、(6)式のb_(i,j)^nの部分は、b_(i,j)^nではなく、(b_(i,j)^n)(Δy)^2 or (b_(i,j)^n)(Δx)^2ではないのですか？
私の計算ミスでしたらごめんなさい。
よろしくお願いします。
ご指摘ありがとうございます。
おっしゃるとおりです。失礼致しました。
修正したいと思います。
数値計算の方は、修正の必要は無く正しいです。
ありがとうございました。