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流体力学

流体力学 ケルビンの循環定理【渦ができる要因を理解する】

こんにちは(^^)/

前回は、流体力学における循環というものを定義しました。
循環の定義については下記の記事を参考にしてください。

なぜ、このような記事を書いたのかと言いますと、

下記のような疑問に対してヒントを得るためです。

  • なぜ渦が生成されるのか?
  • 渦を生成する要因は何か?これらの渦が生成するためのヒント”をいくつか与えられたらなと思います。
    ※完全なメカニズムまでは説明しきれないですが。
カマキリ

渦は奥深い

渦が生成するための仕組みを理解するために、以下の内容を順番に投稿していきたいと思います。

渦生成を理解するために
  1. 流体力学の循環の定義
  2. ケルビンの循環定理←本記事の内容
  3. ヘルムホルツの渦定理
  4. ラグランジュの渦定理
  5. ケルビンの循環定理を破る例(量子流体を例にする)

渦ができる要因は何かと考えるのも良いですが、逆に渦ができない条件ってあるのか?・・・・

どんな条件を課すと渦が生成しないのかを考えることも有益な情報を得ることができそうですよね。

というわけで、そのような内容と関連しているのが、本記事の内容で・・・ケルビンの循環定理というやつです(^^)/

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復習:循環とはなんだったか?

流体力学の循環の定義を今一度復習しておきます。

流れがあるところに閉曲線Cを適当に作り、流速の速度場で一周線積分したもの(循環)というものを定義します。

 

循環の定義

Γc=cvdr

これが循環の定義です(^^)/

前回の記事でも書きましたが、循環はストークスの定理を使うことで、以下のように書き替えることができます。

Γc=cvdr=S(×v)ndS

とこうなります。

×v=ωが渦度ωの定義なので、

循環は渦度を使って、

Γc=SωndS

となります。

これをマンガちっくに書くと・・・

 

こんな感じです。

循環は、「渦度」「閉曲線で囲まれた面積」との掛け算ということになります。
同じ面積でも、渦度ベクトルが大きな値を持っていると、循環は大きくなります。

なので、循環は渦度の強さを表現している量であるとも見ることができます。

ケルビンの循環定理とは?

ケルビンの循環定理の証明の計算をしていくのですが、ケルビンの循環定理とは何かということを押さえておきましょう。

下記のような、ある時刻tのひとつの閉曲線Cでの循環Γc(t)を考えます。

その閉曲線C流れに沿って時間的にどのように変化するのかを考えます。

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