流体力学 ラグランジュの渦定理【渦ができる要因を理解する】
どうも(^^)/
以前には下記のような記事を書いていきました。
なぜ、このような記事を書いているのかと言いますと、
下記のような疑問に対してヒントを得るためです。
- なぜ渦が生成されるのか？
- 渦を生成する要因は何か？
これらの”渦が生成するためのヒント”をいくつか与えられたらなと思います。
※完全なメカニズムまでは説明しきれないですが。
渦が生成するための仕組みを理解するために、以下の内容を順番に投稿していきたいと思います。
- 流体力学の循環の定義
- ケルビンの循環定理
- ヘルムホルツの渦定理
- ラグランジュの渦定理←本記事の内容
- ケルビンの循環定理を破る例（量子流体を例にする）
というわけで、そのような内容と関連しているのが、本記事の内容で・・・ラグランジュの渦定理というやつです(^^)/
ラグランジュの渦定理
ラグランジュの渦定理は、ケルビンの循環定理やヘルムホルツの渦定理と違って言葉で下記のような内容となっています。
ラグランジュの渦定理
下記のような条件、
条件
- 外力がポテンシャルエネルギーで書ける\(\boldsymbol{K}=-\nabla U\)
- バロトロピー流れ（密度が圧力のみの関数)\(\rho=f(p)\)
- 流体の粘性項が無い
であれば、渦は不生不滅である、
つまり、「初期状態で渦無しの流れであれば、その後もずっと渦無しの流れであり・・・初期に渦ありの流れであれば、その後もずっと渦ありの流れである（勝手に消滅しない）」ということを意味しています。
これが、ラグランジュの渦定理です。
ケルビンの循環定理と同じではないのか？
「初期状態で渦無しの流れであれば、その後もずっと渦無しの流れであり・・・初期に渦ありの流れであれば、その後もずっと渦ありの流れである（勝手に消滅しない）」
という言葉を見て、ケルビンの循環定理と同じことを言っているのではないか？
と思う人もいるかもしれませんが、実はちょっと意味合いが違います。
ケルビンの循環定理は、↓こちら。
ケルビンの循環定理
記の3つの条件を課すと、「流れに沿って変化する循環の時間変化を考えると、循環は変化しない」。
条件
- 外力がポテンシャルエネルギーで書ける\(\boldsymbol{K}=-\nabla U\)
- バロトロピー流れ（密度が圧力のみの関数)\(\rho=f(p)\)
- 流体の粘性項が無い
循環が変化しない（保存）
\begin{align*}
\frac{D\Gamma_{c}}{Dt}=0
\end{align*}
ケルビンの循環定理というのは、循環が保存するということを言っているのですよね。
もし仮に、閉曲線内で渦度\(boldsymbol{\omega}\)が一定値と簡単に考えた場合には、
循環は下記の絵のように考えることができます。
ということは、
ケルビンの循環定理からは、循環が保存するということだけなので、
渦管の伸長など（極端な例で渦糸）で、渦度の大きさ自体は変わっているのですよね。
一方、ラグランジュの渦定理は、
あくまでも下記の条件が揃っていれば、渦なし流れと渦あり流れは全く区別することができるという定性的なものです。
条件
- 外力がポテンシャルエネルギーで書ける\(\boldsymbol{K}=-\nabla U\)
- バロトロピー流れ（密度が圧力のみの関数)\(\rho=f(p)\)
- 流体の粘性項が無い
渦度などを議論したい場合は、やはりケルビンの循環定理やヘルムホルツの渦定理から述べた方が良いでしょう♪
逆に渦が生成消滅する条件は何か
渦が不生不滅である条件は、わかったと・・・
では、その逆の渦が生成消滅する条件は何か？ということになると、下記の条件が成り立たないときですよね。
条件
- 外力がポテンシャルエネルギーで書ける\(\boldsymbol{K}=-\nabla U\)
- バロトロピー流れ（密度が圧力のみの関数)\(\rho=f(p)\)
- 流体の粘性項が無い
少し例を見てみましょう。
カルマン渦
これは、流体の粘性がある場合の流れであるため、ケルビンの循環定理は成り立ちません。
ゆえに、渦無しの流れであっても、途中から渦ありの流れになっても構わないということになります。
特に、円柱の壁側では粘性の影響がとても大きく、円柱の壁側から渦が生成しているのが見て取れます。
ケルビンヘルムホルツ不安定
こちらは粘性はもちろんのことながら、2相流（空気と水など）であり2相の界面には界面張力などのせん断力がはたらいています。
ですので、ケルビンの循環定理は成り立ちません。
ゆえに、渦無しの流れであっても、途中から渦ありの流れになっても構わないということになります。
