流体力学任意の面での応力ベクトルとコーシー応力の関係式【図でわかりやすく解説】

前回の記事では、コーシー応力\(\sigma_{ij}\)の物理的な意味と、その式を示しました。

流体力学コーシー応力の意味は圧力と粘性抵抗【図でわかりやすく解説】流体力学の基礎方程式のひとつとして運動量保存則があります。それは、こんな感じ。運動量保存則 \begin{align*}\...

流体力学コーシー応力の式【図でわかりやすく解説】前回の記事で、流体力学の運動量保存則である、運動量保存則 \begin{align*}\frac{\partial \rho ...

このコーシー応力\(\sigma_{ij}\)は、流体力学の運動量保存則の圧力項と粘性項に関わる内力で重要です。

運動量保存則

\begin{align*}\frac{\partial \rho v_{i}}{\partial t}+\frac{\partial\rho v_{i}v_{j}}{\partial x_{j}}=\frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_{j}}+\rho K_{i}\end{align*}

本記事を読むと以下のことがわかるようになります。

任意の面にはたらく応力ベクトルとコーシー応力の関係式がわかる
※下記の(1)式

キーワードは、「任意の面」と「応力ベクトルとコーシー応力の関係式」

本記事の内容
任意の面にはたらく応力ベクトル\(\boldsymbol{t}\)
\begin{align*}t_{i}=\begin{pmatrix}
t_{1} \\
t_{2} \\
t_{3}
\end{pmatrix}\end{align*}
↓
\begin{align*}t_{i}=\begin{pmatrix}
\sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13}\\
\sigma_{21} & \sigma_{22} & \sigma_{23}\\
\sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
n_{1} \\
n_{2} \\
n_{3}
\end{pmatrix}\cdot\cdot\cdot (1)\end{align*}

(1)式はこのように書いたりもします。
\begin{align*}t_{i}=\sigma_{ij}n_{i}\cdot\cdot\cdot (2)\end{align*}
※添え字が2回続くと和を意味しています（アインシュタインの縮約記法）。

どうやって(1)式を導くのかですが、簡単です。

「任意の面\(S\)にはたらく力」と「三角錐の各面（面\(S\)以外）にはたらく力」とのつり合いの式を立てれば良いのです。

任意の面\(S\)を用意する（準備段階）

法線ベクトルと応力ベクトル
三角錐の各面の面積
各面にはたらく応力ベクトル

\(x\)軸方向の力のつり合い

\(S_{x}\)は\(S\)を\(x\)軸方向に投影した面積

\(y\)軸、\(z\)軸方向の力のつり合いも同様に考える
行列表示にする
まとめ
で、(2)式は何に使うのか？
次回

任意の面\(S\)を用意する（準備段階）

点\(P\)を頂点とする微小な三角錐\(PABC\)を考えます。

緑の面\(S\)にはたらく応力ベクトル\(\boldsymbol{t}\)とコーシー応力\(\boldsymbol{\sigma}\)との関係を知ることが本記事の目標となります。

※緑の面の面積は\(S\)

法線ベクトルと応力ベクトル

では、任意の面上の法線ベクトル\(\boldsymbol{n}\)と応力ベクトル\(\boldsymbol{t}\)を下記のように置きます。

ここは、文字を定義しただけですね。

また法線ベクトルは別の書き方では、

こんな感じで、「各軸におろした角度」を使って方向余弦を定義できます。

\begin{align*}t_{i}=\begin{pmatrix}
\cos\theta_{x} \\
\cos\theta_{y} \\
\cos\theta_{z}
\end{pmatrix}\cdot\cdot\cdot (3)\end{align*}

三角錐の各面の面積

続いては、三角錐の各面の面積を定義していきます。

\(x\)軸に垂直な面の面積：\(S_{x}\)
\(y\)軸に垂直な面の面積：\(S_{y}\)
\(z\)軸に垂直な面の面積：\(S_{z}\)

このように「～軸に垂直な面の面積」を添え字を使って区別します。

絵で書くとこんな感じ↓

応力は「単位面積あたりの力」を意味していますので、各面にはたらく力を考えるときには、各面の面積を定義しておく必要があるので定義しました。

各面にはたらく応力ベクトル

続いて各面にはたらく応力ベクトルを書いていきます。

応力ベクトルは2種類あります。

面に対して垂直な方向の応力：垂直応力
面に対して平行な方向の応力：せん断応力

添え字が多くて少々煩雑に見えますが、添え字の意味を理解しておくとたいしたことはないです。

垂直応力は添え字がひとつしかないのでわかりやすいですが、せん断応力は添え字が２つあるのでどういった意味なのかを示しておきます。

これで準備段階は終わりました。

ようやく、任意の面にはたらく応力ベクトルと、三角錐の各面にはたらく力とのつり合いの式を考えることになります。

\(x\)軸方向の力のつり合い

どの軸も特別な軸というわけではないので、どれかひとつだけの軸について、どのような式が導けるのかを考えれば十分ですよね。

それを\(x\)軸にとることにります。

では、\(x\)軸方向の力のつり合いを考えていきます。

任意の面（緑色）にはたらく応力ベクトルの\(x\)方向の応力を\(t_{x}\)と置きます。

\(x\)方向の力のつり合いの式

\begin{align*}t_{x}S=\sigma_{x}S_{x}+\tau_{yx}S_{y}+\tau_{zx}S_{z}\cdot\cdot\cdot (4)\end{align*}

と、こうのようになります。

まだ、これでは\(S\)や\(S_{x}\)などの面積の表記が邪魔ですよね。

そこで、\(S\)や\(S_{x}\)などの関係式を示しておく必要があります。

\(S_{x}\)は\(S\)を\(x\)軸方向に投影した面積

表題の通り、\(S_{x}\)は\(S\)を\(x\)軸方向に投影した面積です。

だから、

\begin{align*}S_{x}=Sn_{x}\cdot\cdot\cdot (5)\end{align*}

の関係式が成り立ちます。

よくわからないっていう人は、面で考えるからわかりにくいのだと思います。

法線ベクトル\(\boldsymbol{n}\)は面\(S\)に対して垂直なベクトルなのだから、面が線に見える方向から眺めてみれば良いです。

\(zx\)面方向から面\(S\)を眺めてみましょう。

そうすると、

こんな感になります。

そこで(3)式の方向余弦を思い出しますと、

\begin{align*}S_{x}=Sn_{x}\cdot\cdot\cdot (5)\end{align*}

こうなることがわかりますよね。

だから、各面に対しても

\begin{align*}S_{y}=Sn_{y}\cdot\cdot\cdot (6)\end{align*}

\begin{align*}S_{z}=Sn_{z}\cdot\cdot\cdot (7)\end{align*}

が成り立ちますので、(5)(6)(7)式を(4)式に代入すると、両辺で\(S\)が消去されるので、

\begin{align*}t_{x}=\sigma_{x}n_{x}+\tau_{yx}n_{y}+\tau_{zx}n_{z}\cdot\cdot\cdot (8)\end{align*}

となります。

導けました(^^)/

\(y\)軸、\(z\)軸方向の力のつり合いも同様に考える

\(x\)軸方向が特別な軸ではないのですから、同じ考え方をすると\(y\)軸、\(z\)軸方向についても、

\(y\)方向の力のつり合いの式

\begin{align*}t_{y}=\tau_{xy}n_{x}+\sigma_{y}n_{y}+\tau_{zy}n_{z}\cdot\cdot\cdot (9)\end{align*}

\(z\)方向の力のつり合いの式

\begin{align*}t_{z}=\tau_{xz}n_{x}+\tau_{yz}n_{y}+\sigma_{z}n_{z}\cdot\cdot\cdot (10)\end{align*}

このようになります。

行列表示にする

さて、これを行列での表記にするととてもすっきりします。

\(x\)方向の力のつり合いの式

\begin{align*}t_{x}=\sigma_{x}+\tau_{yx}+\tau_{zx}\cdot\cdot\cdot (8)\end{align*}

\(y\)方向の力のつり合いの式

\begin{align*}t_{y}=\tau_{xy}+\sigma_{y}+\tau_{zy}\cdot\cdot\cdot (9)\end{align*}

\(z\)方向の力のつり合いの式

\begin{align*}t_{z}=\tau_{xz}+\tau_{yz}+\sigma_{z}\cdot\cdot\cdot (10)\end{align*}

下記が(8)(9)(10)の行列での表記です。

\begin{align*}t_{i}=\begin{pmatrix}
\sigma_{x} & \tau_{yx} & \tau_{zx}\\
\tau_{xy} & \sigma_{y} & \tau_{zy}\\
\tau_{xz} & \tau_{yz} & \sigma_{z}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
n_{x} \\
n_{y} \\
n_{z}
\end{pmatrix}\cdot\cdot\cdot (11)\end{align*}

ここで、\(x\)、\(y\)、\(z\)などの文字が添え字だと扱いにくい場合も多いので、添え字を数字に変えておきます。

こんな感じで・・・

そうすると、冒頭で示した応力ベクトルとコーシー応力の関係式が導けたことになります。

\begin{align*}t_{i}=\begin{pmatrix}
\sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13}\\
\sigma_{21} & \sigma_{22} & \sigma_{23}\\
\sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
n_{1} \\
n_{2} \\
n_{3}
\end{pmatrix}\cdot\cdot\cdot (1)\end{align*}

これでも十分よくまとまっていますが、もっとすっきりさせるためにテンソル表記にすることもあります。

(1)式はこのように書いたりもします。
\begin{align*}t_{i}=\sigma_{ij}n_{i}\cdot\cdot\cdot (2)\end{align*}
※添え字が2回続くと和を意味しています（アインシュタインの縮約記法）。

まとめ

どうですかね。

順を追って行けばそれほど難しくもなかったかもしれません。

任意の面にはたらく応力ベクトル\(\boldsymbol{t}\)
\begin{align*}t_{i}=\begin{pmatrix}
t_{1} \\
t_{2} \\
t_{3}
\end{pmatrix}\end{align*}
↓
\begin{align*}t_{i}=\begin{pmatrix}
\sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13}\\
\sigma_{21} & \sigma_{22} & \sigma_{23}\\
\sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
n_{1} \\
n_{2} \\
n_{3}
\end{pmatrix}\cdot\cdot\cdot (1)\end{align*}

(1)式はこのように書いたりもします。
\begin{align*}t_{i}=\sigma_{ij}n_{i}\cdot\cdot\cdot (2)\end{align*}
※添え字が2回続くと和を意味しています（アインシュタインの縮約記法）。

で、(2)式は何に使うのか？

よくありがちなのが、複雑で長い式を一生懸命計算していって導いた結果について、「ん？これはいったい何に使うのか？」ってなることです。

だからもう一度、「任意の面にはたらく応力ベクトル\(\boldsymbol{t}\)」をなぜ示したのかをおさらいすると、

流体力学の運動量保存則の圧力項と粘性項に関わる内力を表現するためです。

※下記の\(\sigma_{ij}\)が何かを理解するためです。

運動量保存則

\begin{align*}\frac{\partial \rho v_{i}}{\partial t}+\frac{\partial\rho v_{i}v_{j}}{\partial x_{j}}=\frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_{j}}+\rho K_{i}\end{align*}