【なぜ行列式の計算するのか？】逆行列を持つ条件とは。

こんにちは(@t_kun_kamakiri)(^^)/

前回では、「転置行列の性質」についての記事をまとめました。

前回の記事はこちら

【転置行列の性質】積の転置行列の証明あり。

今回は行列式について解説を行います。

本記事の内容

行列式の定義
なぜ行列式を計算するのか

これから線形代数を学ぶ学生や社会人のために「役に立つ内容にしたい」という思いで記事を書いていこうと考えています。

こんな人が対象

行列をはじめて習う高校生・大学生
仕事で行列を使うけど忘れてしまった社会人

この記事を読むと「なぜ行列式を計算するのか？」が理解できるようになります(^^)/

なぜ行列式を考えるのか？
逆行列とは$a÷a=1$のイメージ
逆行列が存在するとはどういうことか？イメージで解説する
逆行列が存在しないとはどういうことか？イメージで解説する
まとめ
参考にする参考書はこれ

なぜ行列式を考えるのか？

本記事では行列式についてお話ししますが、そもそもなぜ行列式を考えなくてはいけないのでしょうか？

行列式の計算結果から逆行列が存在するかどうかの判断に使えるからです。

$n$次の正方行列$A$に対して$XA=E$（※$E$は単位行列）となるような行列$X$を$A$の逆行列と言います。

\begin{align*}
XA=E\tag{1}
\end{align*}

そして行列$A$の逆行列を$A^{-1}$と表記します。

いつでも上記のように行列$A$の逆行列$A^{-1}$が存在するとは限りません。
行列$A$の逆行列が存在するときを特に正則行列と言います。

正則行列

\begin{align*}
XA=E\tag{1}
\end{align*}

となるような$X$が存在するとき$A$は正則行列と言います。

ここで逆行列が存在するかどうかの判断に行列式が関わってくるというわけです。

$A$の行列式は$|A|$もしくは$det(A)$と表記します。
※detは逆行列の英単語determinantの略です。
ここでは行列式は$|A|$や$det(A)$と書くのか～と思っていればOKです。

実は逆行列が存在するかどうかの判断に本記事で扱う行列式が重要になってきます。
まず結論を以下に述べておきます。

\begin{align*}
\left\{\begin{matrix}
\left | A \right |\neq 0のとき Aは正則\rightarrow 逆行列A^{-1}が存在する\\
\left | A \right |= 0のとき Aは正則ではない\rightarrow 逆行列A^{-1}が存在しない
\end{matrix}\right.
\end{align*}

※行列式と聞くと「方程式」のような式の形を思い浮かぶかもしれませんが、式ではなく行列式は「$1,\frac{3}{2},-5,0$」などのように値です。

行列式を計算した結果が「0」か「0でないか」で逆行列$A^{-1}$が存在するかどうかの判断に使えるわけですね。
行列$A$の行列式$|A|$を計算して0ならば逆行列$A^{-1}$が存在せず、よって(1)のような単位行列にするような$X=A^{-1}$が存在しないということですね。