【フーリエ変換】非周期関数を考える。複素フーリエ級数展開の周期性を無限大にしよう。

こんにちは(@t_kun_kamakiri)(^^)/

この記事ではフーリエ変換について説明したいと思います！

フーリエ変換にまつわる理論面でのお話は知らないといけないことをがとても多いです。

前回の記事はこちら

直交関数系をベクトルの線形結合と類似して考えてみよう。

【フーリエ級数展開】直交関数系を使って任意関数を表そう。

【複素フーリエ級数展開】オイラーの公式を使ってフーリエ級数展開式を使って書き変えよう。

前回の記事では、

複素フーリエ級数展開

\(x\)の範囲を[\(-L\leq x\leq L\)]とし、関数の集合を、

\begin{align*}\{1,e^{ik_{1}x},e^{ik_{2}x},\cdots,e^{ik_{n}x},\cdots,e^{-ik_{1}x},e^{-ik_{2}x},\cdots,e^{-ik_{n}x},\cdots\}\end{align*}

※\(k_{n}=\frac{n\pi}{L}\)
として、任意関数\(f(x)\)は

\begin{align*}f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}c_{n}e^{ik_{n}x}\tag{1}\end{align*}

と書けるよ、という話をしたいと思います。
これは複素フーリエ級数展開と呼ばれています。
係数\(c_{n}\)は、

\begin{align*}
c_{n}=\frac{1}{2L}\int^{L}_{-L}f(x)e^{-ik_{n}x}\ dx\tag{2}
\end{align*}

※\(e^{ik_{n}x}\)は\(2L\)周期関数ですので、任意関数\(f(x)\)も同じ\(2L\)周期関数に限った話であることに注意しましょう。

複素フーリエ級数展開では、正弦波\(e^{ik_n x}\)(\(k_n=\frac{n\pi}{L}\))が\(2L\)の周期性を持っているため、それらの正弦波で級数展開で記述できる\(f(x)\)も\(2L\)の周期性を持っているのでした。

しかし、\(L\rightarrow \infty\)とすると周期性は無くなり、非周期関数\(f(x)\)も正弦波\(e^{ik x}\)で記述できるフーリエ変換というのが本記事の内容です。

本記事の内容はこちら

複素フーリエ級数展開の\(2L\)周期性を無限大にして、フーリエ変換を得る。

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複素フーリエ級数展開の復習
複素フーリエ級数展開：正規直交関数系で級数展開
フーリエ変換：\(L\rightarrow \infty\)とする
フーリエ変換の意味
まとめ

複素フーリエ級数展開の復習

まずはじめに複素フーリエ級数展開の復習をしておきましょう。

複素フーリエ級数展開を得る流れは以下の通りです。

任意の\(2L\)の周期関数\(f(x)\)をフーリエ級数展開する
オイラーの公式を使って複素数まで考え方を広げる
複素フーリエ級数展開を得る

複素フーリエ級数展開

\begin{align*}f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}c_{n}e^{ik_{n}x}\tag{1}\end{align*}

係数\(c_{n}\)は、

\begin{align*}
c_{n}=\frac{1}{2L}\int^{L}_{-L}f(x)e^{ik_{n}x}\ dx\tag{2}
\end{align*}

（複素）フーリエ級数展開のポイント

離散的な正弦波\(e^{ik_n x}\)で級数展開をしている
\(2L\)の周期性のある関数\(f(x)\)を表現している

それと比べてフーリエ変換でのポイントさえ押させておけば、複素フーリエ級数展開からフーリエ変換に移行することができます。

フーリエ変換のポイント

任意の関数\(f(x)\)連続的な正弦波\(e^{ikx}\)の重ね合わせ
非周期関数\(f(x)\)をフーリエ変換で表現している(\(f(x)\)に周期性が無くても良い)

以上のポイントを踏まえてフーリエ変換を示していきましょう。

複素フーリエ級数展開：正規直交関数系で級数展開

カマキリ

まずはじめにひと工夫を！

関数の集合を、

\begin{align*}\{1,e^{ik_{1}x},e^{ik_{2}x},\cdots,e^{ik_{n}x},\cdots,e^{-ik_{1}x},e^{-ik_{2}x},\cdots,e^{-ik_{n}x},\cdots\}\end{align*}

としていると、直交性として、

\begin{align*}
\int _{-L}^{L}e^{ik_{m}x}e^{-ik_{n}x}\ dx=\left\{\begin{matrix}
2L\left ( m=n \right )\\0\left (m \neq n \right )
\end{matrix}\right.
\end{align*}

が得られますが・・・・・関数の集合を、

\begin{align*}\{\frac{1}{\sqrt{2L}},\frac{1}{\sqrt{2L}}e^{ik_{1}x},\frac{1}{\sqrt{2L}}e^{ik_{2}x},\cdots,\frac{1}{\sqrt{2L}}e^{ik_{n}x},\cdots,\frac{1}{\sqrt{2L}}e^{-ik_{1}x},\frac{1}{\sqrt{2L}}e^{-ik_{2}x},\cdots,\frac{1}{\sqrt{2L}}e^{-ik_{n}x},\cdots\}\end{align*}

\begin{align*}
\int _{-L}^{L}\frac{1}{\sqrt{2L}}e^{ik_{m}x}\frac{1}{\sqrt{2L}}e^{-ik_{n}x}\ dx=\left\{\begin{matrix}1
\left ( m=n \right )\\0\left (m \neq n \right )
\end{matrix}\right.\tag{3}
\end{align*}

としておくと、関数の集合が

同じ関数\(m=n\)の複素共役同士の掛け算の積分は１であり、
異なる関数\(m\neq n\)の複素共役同士の掛け算の積分は値が0になる

を満たします。

これらの関数の集合を正規直交関数系と呼びます。
そうすると、\(2L\)の任意の周期関数\(f(x)\)を複素フーリエ級数展開すると、

\begin{align*}f(x) =\frac{1}{\sqrt{2L}} \sum_{n=-\infty}^{\infty}c_{n}e^{ik_{n}x}\tag{4}\end{align*}

係数\(c_{n}\)は、

\begin{align*}
c_{n}=\frac{1}{\sqrt{2L}}\int^{L}_{-L}f(x)e^{-ik_{n}x}\ dx\tag{5}
\end{align*}

となります。

(1)(2)式と(4)(5)式を比べると係数の違うくらいで本質的な部分（\(f(x)\)が周期の異なる関数\(e^{ik_n x}\)で展開されている）は変わっていません。

フーリエ変換：\(L\rightarrow \infty\)とする

カマキリ

またまた、ひと工夫を！

\begin{align*}F_{n}=\frac{L}{\pi}ｃ_{n}\end{align*}

と置きます。そうすると、

\begin{align*}
f(x)=\frac{1}{\sqrt{2L}}\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_{n}e^{ik_{n}x}\\
c_{n}=\frac{1}{\sqrt{2L}}\int^{L}_{-L}f(x)e^{-ik_{n}x}\ dx
\end{align*}

↓\(F_{n}=\frac{L}{\pi}c_{n}\)

\begin{align*}
f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\sum_{n=-\infty}^{\infty}F_{n}e^{ik_{n}x}\frac{\pi}{L}\\
F_{n}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int^{L}_{-L}f(x)e^{-ik_{n}x}\ dx\tag{6}
\end{align*}

ここで、\(k_{n}=\frac{n\pi}{L}\)であるから、\(\frac{\pi}{L}\)が図のように関数をブロックで分割したときの幅となります。

絵のように、\(f(x)\)は離散的で幅が\(\frac{\pi}{L}\)のブロックを足していく（灰色）ということは、幅を無限に小さくした際には積分（赤線）を計算しているということを意味しています。

このとき、とびとびの値だった\(\frac{n\pi}{L}\)が連続的な値\(k\)に変わります。

というわけで、\(L\rightarrow \infty\)とすることで、

\begin{align*}
f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}F(k)e^{ikx}dk\\
F(k)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{ikx}\ dx\tag{7}
\end{align*}

これらの変換のことを「フーリエ変換」と「逆フーリエ変換」と呼びます。