大学数学

【置換:行列式の定義】4次の正方行列式を求めてみよう。

こんにちは(@t_kun_kamakiri)(^^)/

前回では、「行列式の定義から3次正方行列の行列式の計算」についての内容をまとめました。

前回の記事はこちら

 

3次までの行列式はサラスの公式通りで計算ができるのですが、
4次以上の正方行列の行列式はどのように計算するのでしょうか?

結果はこのようになります。

\begin{align*}
|A|&=a_{11}a_{22}a_{33}a_{44}-a_{11}a_{22}a_{34}a_{43}\\
&-a_{11}a_{23}a_{32}a_{44}+a_{11}a_{23}a_{34}a_{42}\\
&+a_{11}a_{24}a_{32}a_{43}-a_{11}a_{24}a_{33}a_{42}\\
&-a_{12}a_{21}a_{33}a_{44}+a_{12}a_{21}a_{34}a_{43}\\
&+a_{12}a_{23}a_{31}a_{44}-a_{12}a_{23}a_{34}a_{41}\\
&-a_{12}a_{24}a_{31}a_{43}+a_{12}a_{24}a_{33}a_{41}\\
&+a_{13}a_{21}a_{32}a_{44}-a_{13}a_{21}a_{34}a_{42}\\
&-a_{13}a_{22}a_{31}a_{44}+a_{13}a_{22}a_{34}a_{41}\\
&+a_{13}a_{24}a_{31}a_{42}-a_{13}a_{24}a_{32}a_{41}\\
&-a_{14}a_{21}a_{32}a_{43}+a_{14}a_{21}a_{33}a_{42}\\
&+a_{14}a_{22}a_{31}a_{43}-a_{14}a_{22}a_{33}a_{41}\\
&-a_{14}a_{23}a_{31}a_{42}+a_{14}a_{23}a_{32}a_{41}
\end{align*}

どうやって計算するのか?

今回は4次の正方行列の行列式の計算方法ついて解説を行います。

本記事の内容
  • 行列式の定義($n$次正方行列)
  • 4次の正方行列の行列式の計算

※4次以上の正方行列に対する行列式の計算方法は次回の記事で解説を行います。

これから線形代数を学ぶ学生や社会人のために「役に立つ内容にしたい」という思いで記事を書いていこうと考えています。

こんな人が対象
  • 行列をはじめて習う高校生・大学生
  • 仕事で行列を使うけど忘れてしまった社会人

この記事を読むと4次正方行列を求めることができるようになります(^^)/

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行列式の定義

まずは行列式の定義を書いておきましょう。
ちょっと何かいているのかわからないかもしれませんが後ほど詳しく解説します。

行列式の定義

$n$行$n$列の正方行列Aについて、行列式を以下のように定義する。

\begin{align*}
|A|&=\sum sgn\, (\sigma) \cdot a_{1\sigma_{1}}a_{2\sigma_{2}}\cdots a_{n\sigma_{n}}\tag{1}
\end{align*}

このように定義できます。

$\sigma=\begin{pmatrix}
1 &2 &3 &\cdots &n \\
i_{1} &i_{2} &i_{3} &\cdots &i_{n}
\end{pmatrix}\\$

$n$次正方行列の行列式をシンプルに書くとめちゃくちゃ難しく感じますが、以下のポイントを押さえて順に理解していけばよいと思います。

  • $\sigma=\begin{pmatrix}
    1 &2 &3 &\cdots &n \\
    i_{1} &i_{2} &i_{3} &\cdots &i_{n}
    \end{pmatrix}\\$とはどういう意味か?
  • 4次の正方行列の行列式も(1)を使って出してみる。

まず$\sigma=\begin{pmatrix}
1 &2 &3 &\cdots &n \\
i_{1} &i_{2} &i_{3} &\cdots &i_{n}
\end{pmatrix}\\$がどういう意味かわからないので、(1)がどうなっているのか全く分かりませんよね。

置換の定義

まずは$\sigma=\begin{pmatrix}
1 &2 &3 &\cdots &n \\
i_{1} &i_{2} &i_{3} &\cdots &i_{n}
\end{pmatrix}\\$から解説します。

本記事では4次の正方行列の行列式を考えるため4文字の場合を考えてみます。

\begin{align*}
\sigma=\begin{pmatrix}
1 &2 &3 &4\\
i_{1} &i_{2} &i_{3}&i_{4}\end{pmatrix}
\end{align*}

置換に$sgn$がsignatureの略が前についていますね。これが意味しているのは下の行の入れ替えの数に対して「1か-1」かをとるというものです。4文字なので入れ替えは$4!=24$通りあります。

具体的に書いてみると以下のようになります。

言葉にすると「下の行の数字の入れ替えた数」が、

  • 偶数なら:$1$
  • 奇数なら:$-1$

ということです。
だから結果は24通り全て書き出してみると、

  • $sgn\,\begin{pmatrix}
    1 &2 &3 &4 \\
    1 &2 &3 &4\end{pmatrix}=1$
  • $sgn\,\begin{pmatrix}
    1 &2 &3 &4 \\
    1 &2 &4 &3\end{pmatrix}=-1$
  • $sgn\,\begin{pmatrix}
    1 &2 &3 &4 \\
    1 &3 &2 &4\end{pmatrix}=-1$
  • $sgn\,\begin{pmatrix}
    1 &2 &3 &4 \\
    1 &3 &4 &2\end{pmatrix}=1$
  • $sgn\,\begin{pmatrix}
    1 &2 &3 &4 \\
    1 &4 &2 &3\end{pmatrix}=1$
  • $sgn\,\begin{pmatrix}
    1 &2 &3 &4 \\
    1 &4 &3 &2\end{pmatrix}=-1$
  • $sgn\,\begin{pmatrix}
    1 &2 &3 &4 \\
    2 &1 &3 &4\end{pmatrix}=-1$
  • $sgn\,\begin{pmatrix}
    1 &2 &3 &4 \\
    2 &1 &4 &3\end{pmatrix}=1$
  • $sgn\,\begin{pmatrix}
    1 &2 &3 &4 \\
    2 &3 &1 &4\end{pmatrix}=1$
  • $sgn\,\begin{pmatrix}
    1 &2 &3 &4 \\
    2 &3 &4 &1\end{pmatrix}=-1$
  • $sgn\,\begin{pmatrix}
    1 &2 &3 &4 \\
    2 &4 &1 &3\end{pmatrix}=-1$
  • $sgn\,\begin{pmatrix}
    1 &2 &3 &4 \\
    2 &4 &3 &1\end{pmatrix}=1$
  • $sgn\,\begin{pmatrix}
    1 &2 &3 &4 \\
    3 &1 &2 &4\end{pmatrix}=1$
  • $sgn\,\begin{pmatrix}
    1 &2 &3 &4 \\
    3 &1 &4 &2\end{pmatrix}=-1$
  • $sgn\,\begin{pmatrix}
    1 &2 &3 &4 \\
    3 &2 &1 &4\end{pmatrix}=-1$
  • $sgn\,\begin{pmatrix}
    1 &2 &3 &4 \\
    3 &2 &4 &1\end{pmatrix}=1$
  • $sgn\,\begin{pmatrix}
    1 &2 &3 &4 \\
    3 &4 &1 &2\end{pmatrix}=1$
  • $sgn\,\begin{pmatrix}
    1 &2 &3 &4 \\
    3 &4 &2 &1\end{pmatrix}=-1$
  • $sgn\,\begin{pmatrix}
    1 &2 &3 &4 \\
    4 &1 &2 &3\end{pmatrix}=-1$
  • $sgn\,\begin{pmatrix}
    1 &2 &3 &4 \\
    4 &1 &3 &2\end{pmatrix}=1$
  • $sgn\,\begin{pmatrix}
    1 &2 &3 &4 \\
    4 &2 &1 &3\end{pmatrix}=1$
  • $sgn\,\begin{pmatrix}
    1 &2 &3 &4 \\
    4 &2 &3 &1\end{pmatrix}=-1$
  • $sgn\,\begin{pmatrix}
    1 &2 &3 &4 \\
    4 &3 &1 &2\end{pmatrix}=-1$
  • $sgn\,\begin{pmatrix}
    1 &2 &3 &4 \\
    4 &3 &2 &1\end{pmatrix}=1$

このようになります。

カマキリ

長い・・・・・

4次の行列式も置換を使って書いてみよう

4次正方行列$A=\begin{pmatrix}
a_{11} &a_{12} & a_{13} & a_{14} \\
a_{21} &a_{22} & a_{23} & a_{24}\\
a_{31} &a_{32} & a_{33} & a_{34}\\
a_{41} &a_{42} & a_{43} & a_{44}
\end{pmatrix}\\$の行列式を求めてみましょう。

4次の正方行列の行列式にはサラスの公式のような便利な公式がないため行列式の定義に従って素直に求めます。

行列式の定義

$n$行$n$列の正方行列Aについて、行列式を以下のように定義する。

\begin{align*}
|A|&=\sum sgn\, (\sigma) \cdot a_{1\sigma_{1}}a_{2\sigma_{2}}a_{3\sigma_{3}}a_{4\sigma_{4}}\tag{2}
\end{align*}

このように定義できます。

$\sigma=\begin{pmatrix}
1 &2 &3 & 4 \\
i_{1} &i_{2} &i_{3} &i_{4}
\end{pmatrix}\\$

まず(2)の和については4文字の置換$\sigma$について$4!=24$通りの場合があったので、24個の和について計算をするという意味です。

\begin{align*}
|A|&=\sum sgn\, (\sigma) \cdot a_{1\sigma_{1}}a_{2\sigma_{2}}a_{3\sigma_{3}}a_{4\sigma_{4}}\\
&=\underset{1}{sgn\,\begin{pmatrix}
1 &2 &3 &4 \\
1 &2 &3 &4\end{pmatrix}}a_{11}a_{22}a_{33}a_{44}+\underset{-1}{sgn\,\begin{pmatrix}
1 &2 &3 &4 \\
1 &2 &4 &3\end{pmatrix}}a_{11}a_{22}a_{34}a_{43}\\
&+\underset{-1}{sgn\,\begin{pmatrix}
1 &2 &3 &4 \\
1 &3 &2 &4\end{pmatrix}}a_{11}a_{23}a_{32}a_{44}+\underset{1}{sgn\,\begin{pmatrix}
1 &2 &3 &4 \\
1 &3 &4 &2\end{pmatrix}}a_{11}a_{23}a_{34}a_{42}\\
&+\underset{1}{sgn\,\begin{pmatrix}
1 &2 &3 &4 \\
1 &4 &2 &3\end{pmatrix}}a_{11}a_{24}a_{32}a_{43}+\underset{-1}{sgn\,\begin{pmatrix}
1 &2 &3 &4 \\
1 &4 &3 &2\end{pmatrix}}a_{11}a_{24}a_{33}a_{42}\\
&+\underset{-1}{sgn\,\begin{pmatrix}
1 &2 &3 &4 \\
2 &1 &3 &4\end{pmatrix}}a_{12}a_{21}a_{33}a_{44}+\underset{1}{sgn\,\begin{pmatrix}
1 &2 &3 &4 \\
2 &1 &4 &3\end{pmatrix}}a_{12}a_{21}a_{34}a_{43}\\
&+\underset{1}{sgn\,\begin{pmatrix}
1 &2 &3 &4 \\
2 &3 &1 &4\end{pmatrix}}a_{11}a_{23}a_{32}a_{44}+\underset{-1}{sgn\,\begin{pmatrix}
1 &2 &3 &4 \\
2 &3 &4 &1\end{pmatrix}}a_{12}a_{23}a_{34}a_{41}\\
&+\underset{-1}{sgn\,\begin{pmatrix}
1 &2 &3 &4 \\
2 &4 &1 &3\end{pmatrix}}a_{12}a_{24}a_{31}a_{43}+\underset{1}{sgn\,\begin{pmatrix}
1 &2 &3 &4 \\
2 &4 &3 &1\end{pmatrix}}a_{12}a_{24}a_{33}a_{41}\\
&+\underset{-1}{sgn\,\begin{pmatrix}
1 &2 &3 &4 \\
3 &1 &2 &4\end{pmatrix}}a_{13}a_{21}a_{32}a_{44}+\underset{-1}{sgn\,\begin{pmatrix}
1 &2 &3 &4 \\
3 &1 &4 &2\end{pmatrix}}a_{13}a_{21}a_{34}a_{42}\\
&+\underset{1}{sgn\,\begin{pmatrix}
1 &2 &3 &4 \\
3 &2 &1 &4\end{pmatrix}}a_{13}a_{22}a_{31}a_{44}+\underset{1}{sgn\,\begin{pmatrix}
1 &2 &3 &4 \\
3 &2 &4 &1\end{pmatrix}}a_{13}a_{22}a_{34}a_{41}\\
&+\underset{1}{sgn\,\begin{pmatrix}
1 &2 &3 &4 \\
3 &4 &1 &2\end{pmatrix}}a_{13}a_{24}a_{31}a_{42}+\underset{-1}{sgn\,\begin{pmatrix}
1 &2 &3 &4 \\
3 &4 &2 &1\end{pmatrix}}a_{13}a_{24}a_{32}a_{41}\\
&+\underset{-1}{sgn\,\begin{pmatrix}
1 &2 &3 &4 \\
4 &1 &2 &3\end{pmatrix}}a_{14}a_{21}a_{32}a_{43}+\underset{1}{sgn\,\begin{pmatrix}
1 &2 &3 &4 \\
4 &1 &3 &2\end{pmatrix}}a_{14}a_{21}a_{33}a_{42}\\
&+\underset{1}{sgn\,\begin{pmatrix}
1 &2 &3 &4 \\
4 &2 &1 &3\end{pmatrix}}a_{14}a_{22}a_{31}a_{43}+\underset{-1}{sgn\,\begin{pmatrix}
1 &2 &3 &4 \\
4 &2 &3 &1\end{pmatrix}}a_{14}a_{22}a_{33}a_{41}\\
&+\underset{-1}{sgn\,\begin{pmatrix}
1 &2 &3 &4 \\
4 &3 &1 &2\end{pmatrix}}a_{14}a_{23}a_{31}a_{42}+\underset{1}{sgn\,\begin{pmatrix}
1 &2 &3 &4 \\
4 &3 &2 &1\end{pmatrix}}a_{14}a_{23}a_{32}a_{41}\\
&=a_{11}a_{22}a_{33}a_{44}-a_{11}a_{22}a_{34}a_{43}\\
&-a_{11}a_{23}a_{32}a_{44}+a_{11}a_{23}a_{34}a_{42}\\
&+a_{11}a_{24}a_{32}a_{43}-a_{11}a_{24}a_{33}a_{42}\\
&-a_{12}a_{21}a_{33}a_{44}+a_{12}a_{21}a_{34}a_{43}\\
&+a_{12}a_{23}a_{31}a_{44}-a_{12}a_{23}a_{34}a_{41}\\
&-a_{12}a_{24}a_{31}a_{43}+a_{12}a_{24}a_{33}a_{41}\\
&+a_{13}a_{21}a_{32}a_{44}-a_{13}a_{21}a_{34}a_{42}\\
&-a_{13}a_{22}a_{31}a_{44}+a_{13}a_{22}a_{34}a_{41}\\
&+a_{13}a_{24}a_{31}a_{42}-a_{13}a_{24}a_{32}a_{41}\\
&-a_{14}a_{21}a_{32}a_{43}+a_{14}a_{21}a_{33}a_{42}\\
&+a_{14}a_{22}a_{31}a_{43}-a_{14}a_{22}a_{33}a_{41}\\
&-a_{14}a_{23}a_{31}a_{42}+a_{14}a_{23}a_{32}a_{41}\tag{3}
\end{align*}

このように計算できます。

めちゃくちゃ長い(笑)
確かに4次正方行列の行列式を計算できましたが全然実用的ではありません。

次回解説する余因子展開の方が簡単に計算できるので、余因子展開の解説記事も是非お読みください。
次回の余因子展開の内容では4次正方行列の行列式の計算もやってみます!

まとめ

今回は4次正方行列の行列式を行列の定義から素直に求めてみました。

4次正方行列$A=\begin{pmatrix}
a_{11} &a_{12} & a_{13} & a_{14} \\
a_{21} &a_{22} & a_{23} & a_{24}\\
a_{31} &a_{32} & a_{33} & a_{34}\\
a_{41} &a_{42} & a_{43} & a_{44}
\end{pmatrix}\\$の行列式は、

\begin{align*}
|A|&=\sum sgn\, (\sigma) \cdot a_{1\sigma_{1}}a_{2\sigma_{2}}a_{3\sigma_{3}}a_{4\sigma_{4}}\\
&=a_{11}a_{22}a_{33}a_{44}-a_{11}a_{22}a_{34}a_{43}\\
&-a_{11}a_{23}a_{32}a_{44}+a_{11}a_{23}a_{34}a_{42}\\
&+a_{11}a_{24}a_{32}a_{43}-a_{11}a_{24}a_{33}a_{42}\\
&-a_{12}a_{21}a_{33}a_{44}+a_{12}a_{21}a_{34}a_{43}\\
&+a_{12}a_{23}a_{31}a_{44}-a_{12}a_{23}a_{34}a_{41}\\
&-a_{12}a_{24}a_{31}a_{43}+a_{12}a_{24}a_{33}a_{41}\\
&+a_{13}a_{21}a_{32}a_{44}-a_{13}a_{21}a_{34}a_{42}\\
&-a_{13}a_{22}a_{31}a_{44}+a_{13}a_{22}a_{34}a_{41}\\
&+a_{13}a_{24}a_{31}a_{42}-a_{13}a_{24}a_{32}a_{41}\\
&-a_{14}a_{21}a_{32}a_{43}+a_{14}a_{21}a_{33}a_{42}\\
&+a_{14}a_{22}a_{31}a_{43}-a_{14}a_{22}a_{33}a_{41}\\
&-a_{14}a_{23}a_{31}a_{42}+a_{14}a_{23}a_{32}a_{41}\tag{3}
\end{align*}

とんでもない結果になりました。

ただ、実用的に行列計算をする場合は10000行10000列の行列計算などとても手で計算するようなものではありません。実用的に使う場合はパソコンの力を使って数値計算で計算することがほとんどです。

参考にする参考書はこれ

当ブログでは、以下の2つの参考書を読みながらよく使う内容をかいつまんで、一通り勉強すればついていけるような内容を目指していこうと思います。

基礎数学1線型代数入門

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大事なところをかいつまんで、「これはよく使うよな。これを理解するためには補足で説明をする」という調子で進めていきます(^^)/

【プロフィール】

カマキリ
(^^)

大学の専攻は物性理論で、Fortranを使って数値計算をしていました。
CAEを用いた流体解析は興味がありOpenFOAMを使って勉強しています。

プロフィール記事はこちら

 

大学学部レベルの物理の解説をします 大学初学者で物理にお困りの方にわかりやすく解説します。

このブログでは主に大学以上の物理を勉強して記事にわかりやすくまとめていきます。

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