大学数学

全微分と偏微分の違いを視覚的に理解しておく。

こんにちは(@t_kun_kamakiri)(^^)/

「全微分と偏微分は説明できるでしょうか？」

本記事の内容

全微分と偏微分の違いを視覚的に理解しておく

微分すらあやしいって方は以下の記事を参考にしてください！

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必ずわかる！微分・全微分・偏微分く

では、解説をしていきます。

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目次
  1. 全微分
    1. 方法1：①と②をひとつずつ見て和をとる
    2. 方法2：\(-f(x,y+dy)+f(x,y+dy)\)を加える
  2. \(x\)に対する導関数\(\frac{df}{dx}\)と偏微分\(\frac{\partial f}{\partial x}\)の違い
    1. \(x\)に対する導関数\(\frac{df}{dx}\)の場合
    2. \(x\)に対する偏微分\(\frac{\partial f}{\partial x}\)の場合
  3. まとめ
  4. おすすめの参考書

全微分

以下のような滑らかな曲面\(z=f(x,y)\)を考えましょう。

※滑らかと言っているのは、微分可能という意味で使っています。

 

さて、全微分はこの場合は、

\begin{align*}df=f(x+dx,y+dy)-f(x,y)\tag{1}\end{align*}

を意味しますね。

つまり上の絵の①＋②のことです。

二つの方法で(1)を見ていきましょう(^^)/

方法1：①と②をひとつずつ見て和をとる

①について

\begin{align*}①&=f(x+dx,y)-f(x,y)\\
&=\lim_{dx \to 0}\frac{f(x+dx,y)-f(x,y)}{dx}dx\\
&=\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}dx\tag{2}\end{align*}

②について

\begin{align*}②&=f(x,y+dy)-f(x,y)\\
&=\lim_{dy \to 0}\frac{f(x,y+dy)-f(x,y)}{dy}dy\\
&=\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}dy\tag{3}\end{align*}

よって\(df\)は、

\begin{align*}df &=①+②\\
&=f(x+dx,y+dy)-f(x,y)\\
&=f(x+dx,y)-f(x,y)+f(x,y+dy)-f(x,y)\\
&=\lim_{dx \to 0}\frac{f(x+dx,y)-f(x,y)}{dx}dx + \lim_{dy \to 0}\frac{f(x,y+dy)-f(x,y)}{dy}dy\\
&=\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}dx+\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}dy\tag{4}\end{align*}

これが全微分ですね(^^)

方法2：\(-f(x,y+dy)+f(x,y+dy)\)を加える

(1)式の\(df=f(x+dx,y+dy)-f(x,y)\)より、

\begin{align*}df &=f(x+dx,y+dy)-f(x,y)\\
&=\bigg(f(x+dx,y+dy)-f(x,y+dy)\bigg)+\bigg(f(x+dx,y+dy)-f(x,y)\bigg)\\
&=\lim_{dx \to 0}\frac{f(x+dx,y+dy)-f(x,y+dy)}{dx}dx+\lim_{dy \to 0}\frac{f(x,y+dy)-f(x,y)}{dy}dy\\
&=\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}dx+\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}dy\end{align*}

となります。
※3つ目の式は$\lim_{dx \to 0}\frac{f(x+dx,y+dy)-f(x,y+dy)}{dx}dx$について$y$については変化をさせていないので、$\lim_{dx \to 0}\frac{f(x+dx)-f(x)}{dx}dx=\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}dx$と見るとわかりやすいですね。

ゆえに、

\begin{align*}df=\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}dx+\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}dy\cdot\cdot\cdot (4)\end{align*}

方法1同様、これが全微分ですね。

\(x\)に対する導関数\(\frac{df}{dx}\)と偏微分\(\frac{\partial f}{\partial x}\)の違い

ところで、微分\(\frac{df}{dx}\)と偏微分\(\frac{\partial f}{\partial x}\)の違いって視覚的にどう違うのか見てみましょう。

\(x\)に対する導関数\(\frac{df}{dx}\)の場合

これを絵で書くと水色ラインということですね(^^)

(4)式を\(dx\)で割ると、

\begin{align*}\frac{df}{dx}=\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}+\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}\frac{dy}{dx}\cdot\cdot\cdot (5)\end{align*}

式の上ではこのようになります。

\(x\)に対する偏微分\(\frac{\partial f}{\partial x}\)の場合

これを絵で書くと水色ラインということですね(^^)

これは(4)式を使うのではなく、たんに\(y\)を固定したときの\(f(x,y)\)の変化量なので、

\begin{align*}\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}\cdot\cdot\cdot (6)\end{align*}

と書きます。

これを偏微分といいますね。

まとめ

数学的な厳密差には欠ける部分がありますが、視覚的なイメージで全微分や偏微分について解説を行いました。

全微分

全微分\(df\)の場合

\begin{align*}df=\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}dx+\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}dy\cdot\cdot\cdot (4)\end{align*}

微分

微分\(\frac{df}{dx}\)の場合

\begin{align*}\frac{df}{dx}=\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}+\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}\frac{dy}{dx}\cdot\cdot\cdot (5)\end{align*}

 

偏微分

偏微分\(\frac{\partial f}{\partial x}\)の場合
\(y\)を固定したときの\(f(x,y)\)の変化量

\begin{align*}\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}\cdot\cdot\cdot (6)\end{align*}

おすすめの参考書

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