全微分と偏微分の違いを視覚的に理解しておく。

ふと、

「全微分と偏微分は何がどう違うのだったか？」

そう感じました(笑)

なので、以下のような目標をもって見ていくことにしましょう。

本記事の目標
全微分と偏微分の違いを視覚的に理解しておく

微分すらあやしいって方は以下の記事を参考にしてください！

前回の記事はこちら

必ずわかる！微分・全微分・偏微分く

では、解説をしていきます。

Contents

1 全微分
- 1.1 方法1：①と②をひとつずつ見て和をとる
- 1.2 方法2：\(-f(x,y+dy)+f(x,y+dy)\)を加える
2 \(x\)に対する導関数\(\frac{df}{dx}\)と偏微分\(\frac{\partial f}{\partial x}\)の違い
- 2.1 \(x\)に対する導関数\(\frac{df}{dx}\)の場合
- 2.2 \(x\)に対する偏微分\(\frac{\partial f}{\partial x}\)の場合
3 まとめ
4 おすすめの参考書

全微分

以下のような滑らかな曲面\(z=f(x,y)\)を考えましょう。

※滑らかと言っているのは、微分可能という意味で使っています。

さて、全微分はこの場合は、

\begin{align*}df=f(x+dx,y+dy)-f(x,y)\cdot\cdot\cdot (1)\end{align*}

を意味しますね。

つまり上の絵の①＋②のことです。

二つの方法で(1)を見ていきましょう(^^)/

方法1：①と②をひとつずつ見て和をとる

①について

①\(=f(x+dx,y)-f(x,y)=\lim_{dx \to 0}\frac{f(x+dx,y)-f(x,y)}{dx}dx=\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}dx\)・・・(2)

②について

②\(=f(x,y+dy)-f(x,y)=\lim_{dy \to 0}\frac{f(x,y+dy)-f(x,y)}{dy}dy=\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}dy\)・・・(3)

よって\(df\)は、

\(df=\)①+②\(=\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}dx+\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}dy\)・・・(4)

これが全微分ですね(^^)

方法2：\(-f(x,y+dy)+f(x,y+dy)\)を加える

(1)式の\(df=f(x+dx,y+dy)-f(x,y)\)より、

\begin{align*}df=f(x+dx,y+dy)-f(x,y)\end{align*}

\begin{align*}＝\bigg(f(x+dx,y+dy)-f(x,y+dy)\bigg)+\bigg(f(x+dx,y+dy)-f(x,y)\bigg)\end{align*}

\begin{align*}=\lim_{dx \to 0}\frac{f(x+dx,y+dy)-f(x,y+dy)}{dx}dx+\lim_{dy \to 0}\frac{f(x,y+dy)-f(x,y)}{dy}dy\end{align*}

\begin{align*}=\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}dx+\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}dy\end{align*}

となります。

ゆえに、

\begin{align*}df=\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}dx+\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}dy\cdot\cdot\cdot (4)\end{align*}

方法1同様、これが全微分ですね。

\(x\)に対する導関数\(\frac{df}{dx}\)と偏微分\(\frac{\partial f}{\partial x}\)の違い

ところで、

微分\(\frac{df}{dx}\)と偏微分\(\frac{\partial f}{\partial x}\)の違いって視覚的にどう違うのか見てみましょう。

\(x\)に対する導関数\(\frac{df}{dx}\)の場合

これを絵で書くと水色ラインということですね(^^)

(4)式を\(dx\)で割ると、

\begin{align*}\frac{df}{dx}=\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}+\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}\frac{dy}{dx}\cdot\cdot\cdot (5)\end{align*}

式の上ではこのようになります。

\(x\)に対する偏微分\(\frac{\partial f}{\partial x}\)の場合

これを絵で書くと水色ラインということですね(^^)

これは(4)式を使うのではなく、たんに\(y\)を固定したときの\(f(x,y)\)の変化量なので、

\begin{align*}\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}\cdot\cdot\cdot (6)\end{align*}

と書きます。

これを偏微分といいますね。

まとめ

微分\(\frac{df}{dx}\)の場合

\begin{align*}\frac{df}{dx}=\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}+\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}\frac{dy}{dx}\cdot\cdot\cdot (5)\end{align*}

偏微分\(\frac{\partial f}{\partial x}\)の場合
\(y\)を固定したときの\(f(x,y)\)の変化量

\begin{align*}\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}\cdot\cdot\cdot (6)\end{align*}