流体力学の力学的相似性｜宇宙に入ったカマキリ

本記事では非圧縮性のナビエストークス方程式がレイノルズ数によって流れのパターンが決まるということを示す力学的相似性について解説をします。

本記事の内容

流体力学で大事な無次元量であるレイノルズ数について説明します。

レイノルズ数は、

$Re=\frac{LV}{\nu}$

↑こんな感じです。

↓ナビエストークス方程式について怪しい方は、こちらの記事をまずはお読みください。

前回の記事

非圧縮性流体の基礎方程式

力学的相似性
1. 数理計算しやすい形に変更：無次元化
まとめ
次回

力学的相似性

外力 $\boldsymbol{K}$ がないとした場合を考えた時、非圧縮性流体として取り扱える場合の運動方程式は以下のようになります。

$\begin{align*}\frac{\partial \boldsymbol{v}}{\partial t}+\big(\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{\nabla}\big)\boldsymbol{v}=-\frac{1}{\rho}\boldsymbol{\nabla}P+\nu\boldsymbol{\nabla}^2\boldsymbol{v}\cdot\cdot\cdot (1)\end{align*}$

数理計算しやすい形に変更：無次元化

(1)式をそのまま取り扱うのも良いかと思いますが、数値計算上もっとやりやすい形に変更できるならばその方が良いと考えられます。

この場合は、ある特徴的なスケールを用いて(1)を式変形した方が良いことが知られています。

代表的な長さL
代表的な速度V

すると、

代表的な時間は $\frac{L}{V}$ 、代表的な圧力は $\rho V^2$

上記のように考えると、無次元量は以下のようになります。

距離 ${x}’=x/L$
速度 ${\boldsymbol{v}}’=\frac{\boldsymbol{v}}{\boldsymbol{V}}$
時間 ${t}’=\frac{t}{L/V}$
圧力 ${P}’=\frac{P}{\rho V^2}$

となるので、(1)の式はとてもシンプルになります。

一応式変形を一つだけ示しておきます。

例えば、

$\frac{\partial \boldsymbol{v}}{\partial t}$ なら、

$\begin{align*}\frac{\partial \boldsymbol{v}}{\partial t}=\frac{\partial {\boldsymbol{v}}’\boldsymbol{V}}{\partial {t}’}\frac{d{t}’}{dt}=\frac{\partial {\boldsymbol{v}}’}{\partial {t}’}\boldsymbol{V}\frac{V}{L}\end{align*}$

上記のようなことを施すと(1)式は、

$\begin{align*}\frac{\partial {\boldsymbol{v}}’}{\partial {t}’}+\big({\boldsymbol{v}}’\cdot{\boldsymbol{\nabla}}’\big){\boldsymbol{v}}’=-{\boldsymbol{\nabla}}'{P}’+\frac{1}{Re}\boldsymbol{\nabla}’^2{\boldsymbol{v}}’\cdot\cdot\cdot (2)\end{align*}$

となります。

ここで、 $Re$ はレイノルズ数と言います。

レイノルズ数は $Re=\frac{LV}{\nu}$ です。

(2)式にすると何が嬉しいかと言うと、(2)式の特徴的な量がレイノルズ数 $Re$ だけになってしまいました。ということは、流れのパターンはレイノルズ数 $Re$ だけを気にすればよいということになります。

もし、下記のように「円柱回りの流体解析」をしたとすれば、レイノルズ数Reさえ揃っていれば解析上は同じ流れになるということですね。