2次元・3次元・4次元・5次元(高次元)の球の体積

下記の記事で、$n$次元空間の半径$R$の球の体積というのを求めました。

前回の記事はこちら

n次元空間における半径Rの球の体積

n次元の球の体積なんて聞いたことないかもしれませんが、以下のように書けます。

n次元空間の半径Rの球の体積

\begin{align*}V_{n}=\frac{2\pi^{n/2}}{n\Gamma(n/2)}R^{n}\cdot\cdot\cdot (\diamondsuit)\end{align*}

せっかくなので、2次元、3次元、4次元、5次元の球の体積をこの公式を使って求めてみようと思います。

と言っても、$n$に整数を代入していくだけです。

2次元の時($n=2$)：$V_{2}=\frac{2\pi^{1}}{2\Gamma(1)}R^{2}$

3次元の時($n=3$)：$V_{3}=\frac{2\pi^{3/2}}{3\Gamma(3/2)}R^{3}$

4次元の時($n=4$)：$V_{4}=\frac{2\pi^{2}}{4\Gamma(2)}R^{4}$

5次元の時($n=5$)：$V_{5}=\frac{2\pi^{5/2}}{5\Gamma(5/2)}R^{5}$

だからガンマ関数$\Gamma(m)$さえ知っていれば良いことになります。

ガンマ関数
各次元の球の体積を求める
まとめ

ガンマ関数

ガンマ関数の定義は、

ガンマ関数

\begin{align*}\Gamma(n)=\int_{0}^{\infty}t^{n-1}e^{-t}dt\cdot\cdot\cdot (1)\end{align*}

です。

ここでは細かな紹介はしません。

2次元～5次元の球の体積を求めるのに必要な情報だけまとめることにします。

($\diamondsuit$）を見ると、それぞれ以下の情報が必要であることがわかります。

2次元の時($n=2$)：$\Gamma(1)$・・・(2)

3次元の時($n=3$)：$\Gamma(\frac{3}{2})$・・・(3)

4次元の時($n=4$)：$\Gamma(2)$・・・(4)

5次元の時($n=5$)：$\Gamma(\frac{5}{2})$・・・(5)

>Wikipedia ガンマ関数

↑これを参考にすると、自然数$m$について、

\begin{align*}\Gamma(m+1)=m!\cdot\cdot\cdot (6)\end{align*}

\begin{align*}\Gamma(m+\frac{1}{2})=\frac{(2m-1)!!}{2^m}\sqrt{\pi}\cdot\cdot\cdot (7)\end{align*}

各次元の球の体積を求める

まず各次元のガンマ関数を求め、それを持ちて($\diamondsuit$）に代入して体積を求めます。

2次元の時、($\diamondsuit$）$n=2$は円の面積

\begin{align*}\Gamma(1)\cdot\cdot\cdot (2)\end{align*}

を求めるのですが上の(6)(7)式に当てはまらない（$\Gamma(n)=(n-1)!$と見ても良い？)ので、(1)式から素直に計算してみます。

\begin{align*}\Gamma(1)=\int_{0}^{\infty}e^{-t}=\bigg[-e^{-t}]\bigg]_{0}^{\infty}=1\cdot\cdot\cdot (8)\end{align*}

よって、($\diamondsuit$）より、

\begin{align*}V_{2}=\pi R^{2}\cdot\cdot\cdot (9)\end{align*}

これは円の面積です。

3次元の時、($\diamondsuit$）$n=3$は球の体積

\begin{align*}\Gamma(\frac{3}{2})\cdot\cdot\cdot (3)\end{align*}

これは、(7)の公式で$m=1$とすれば良いです。

\begin{align*}\Gamma(\frac{3}{2})=\frac{1}{2}\sqrt{\pi}\cdot\cdot\cdot (10)\end{align*}

よって、($\diamondsuit$）より、

\begin{align*}V_{3}=\frac{4}{3}\pi R^{3}\cdot\cdot\cdot (11)\end{align*}

これは球の体積です。

4次元の時、($\diamondsuit$）$n=4$

4次元の球の体積とは想像もつきませんが一応計算してみましょう。

\begin{align*}\Gamma(2)\cdot\cdot\cdot (2)\end{align*}

これは、(6)の公式で$m=1$とすれば良いです。

\begin{align*}\Gamma(2)=1\cdot\cdot\cdot (12)\end{align*}

よって、($\diamondsuit$）より、

\begin{align*}V_{4}=\frac{1}{2} \pi^2 R^{4}\cdot\cdot\cdot (13)\end{align*}

これは何を意味しているのでしょう(笑)

5次元の時、($\diamondsuit$）$n=5$

同様に5次元の球の体積も求めてみましょう。

\begin{align*}\Gamma(\frac{5}{2})\cdot\cdot\cdot (5)\end{align*}

これは、(7)の公式で$m=2$とすれば良いです。

\begin{align*}\Gamma(\frac{5}{2})=\frac{4}{3}\sqrt{\pi}\cdot\cdot\cdot (14)\end{align*}

よって、($\diamondsuit$）より、

\begin{align*}V_{5}=\frac{8}{15}\pi^2 R^{5}\cdot\cdot\cdot (15)\end{align*}

これは何を意味しているのでしょう(笑)

まとめ

各次元の球の体積は、

2次元の時($n=2$)：$V_{2}=\pi R^{2}$・・・(9）
3次元の時($n=3$)：$V_{3}=\frac{4}{3}\pi R^{3}$・・・(11）
4次元の時($n=4$)：$V_{4}=\frac{1}{2} \pi^2 R^{4}$・・・(13）
5次元の時($n=5$)：$V_{5}=\frac{8}{15}\pi^2 R^{5}$・・・(15）

もっと高次元についての球の体積を知りたい方は↓こちらに載っております。

>Wikipedia超球の体積

元	半径 $R$ の球の体積
0	$1$
1	$2R$
2	$\pi R^{2}$
3	${\frac {4}{3}}\pi R^{3}$
4	${\frac {\pi ^{2}}{2}}R^{4}$
5	${\frac {8\pi ^{2}}{15}}R^{5}$
6	${\frac {\pi ^{3}}{6}}R^{6}$
7	${\frac {16\pi ^{3}}{105}}R^{7}$
8	${\frac {\pi ^{4}}{24}}R^{8}$
9	${\frac {32\pi ^{4}}{945}}R^{9}$
10	${\frac {\pi ^{5}}{120}}R^{{10}}$
$n$	$V n (R)$