【線形代数】線形独立と線形関係式

どうも(^^)

本記事では、線形代数の「線形結合」についてさくっとまとめておこうと思います。

線形結合と線形関係式

線形結合（1次結合）
\(c_{1}\boldsymbol{x}_{1}+c_{2}\boldsymbol{x}_{2}+c_{3}\boldsymbol{x}_{3}+\cdot\cdot\cdot +c_{n}\boldsymbol{x}_{n}\)
※線空間\(V\)の元\(\boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2},\boldsymbol{x}_{3},\cdot\cdot\cdot,\boldsymbol{x}_{n}\)
※実数\(c_{1},c_{2},c_{3},\cdot\cdot\cdot,c_{n}\)

線形関係式（1次関係式）
\(c_{1}\boldsymbol{x}_{1}+c_{2}\boldsymbol{x}_{2}+c_{3}\boldsymbol{x}_{3}+\cdot\cdot\cdot +c_{n}\boldsymbol{x}_{n}=0\)
※線空間\(V\)の元\(\boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2},\boldsymbol{x}_{3},\cdot\cdot\cdot,\boldsymbol{x}_{n}\)
※実数\(c_{1},c_{2},c_{3},\cdot\cdot\cdot,c_{n}\)

線形独立と線形従属

線形独立
線形関係式：\(c_{1}\boldsymbol{x}_{1}+c_{2}\boldsymbol{x}_{2}+c_{3}\boldsymbol{x}_{3}+\cdot\cdot\cdot +c_{n}\boldsymbol{x}_{n}=0\)
に対して、
\(c_{1}=c_{2}=c_{3}=\cdot\cdot\cdot=c_{n}=0\)のとき、
\(\boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2},\boldsymbol{x}_{3},\cdot\cdot\cdot,\boldsymbol{x}_{n},\)は線形独立（1次独立）という。
※線空間\(V\)の元\(\boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2},\boldsymbol{x}_{3},\cdot\cdot\cdot,\boldsymbol{x}_{n}\)
※実数\(c_{1},c_{2},c_{3},\cdot\cdot\cdot,c_{n}\)

線形従属
線形関係式：\(c_{1}\boldsymbol{x}_{1}+c_{2}\boldsymbol{x}_{2}+c_{3}\boldsymbol{x}_{3}+\cdot\cdot\cdot +c_{n}\boldsymbol{x}_{n}=0\)
に対して、
\(c_{1},c_{2},c_{3},\cdot\cdot\cdot,c_{n}\)のうち1つでも0でないとき、
\(\boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2},\boldsymbol{x}_{3},\cdot\cdot\cdot\cdot,\boldsymbol{x}_{n},\)は線形従属（1次従属）という。
※線空間\(V\)の元\(\boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2},\boldsymbol{x}_{3},\cdot\cdot\cdot,\boldsymbol{x}_{n}\)
※実数\(c_{1},c_{2},c_{3},\cdot\cdot\cdot,c_{n}\)

基底

線形空間\(V\)の元\(\left \{\boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2},\boldsymbol{x}_{3},\cdot\cdot\cdot,\bf{x}_{n}\right \}\)が線形独立であるとき、\(V\)の任意の元\(\bf{a}\)は下記のように線形結合で表させる。
\(\boldsymbol{a}=c_{1}\boldsymbol{x}_{1}+c_{2}\boldsymbol{x}_{2}+c_{3}\boldsymbol{x}_{3}+\cdot\cdot\cdot +c_{n}\boldsymbol{x}_{n}\)
このとき、\(\left \{ \boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2},\boldsymbol{x}_{3},\cdot\cdot\cdot,\boldsymbol{x}_{n}\right \}\)は\(V\)の基底という。

感想

はて、

いきなり線形空間なり線形結合なり定義みたいなものを書いてしまいましたね(笑)

僕は線形代数を大学生の時に学んで定義なりいきなり話をされてとても困った記憶があります。

なぜならとても抽象的過ぎていったいこれが何の役に立つのやらと思ったことです。

でも後でようやく「力学の固有振動数」や「量子力学の固有関数の線形結合」などに触れると、なるほどそういう風に使うのかと思ったものです。

ゆえに、上記のような問題を解くために本記事のような内容をいづれ見返すであろうということを想定して、とてもさらっと定義を載せておきます(^^)