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流体力学 質量保存則(連続の式)の導出

2019/01/21
 
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前回は、流体力学の基礎方程式の一般系を導きました。

基礎方程式の一般系

\begin{align*}
\int \frac{\partial \Phi}{\partial t} dV=-\int \frac{\partial \big(\Phi v_{j}\big)}{\partial x_{j}}dV+\int a dS+\int b dV\cdot\cdot\cdot (\diamondsuit)\end{align*}

 

流体力学の基礎方程式の導出:一般形式

 

考え方はとてもシンプルで・・・

(A)単位時間当たりの物理量\(\Phi\)の減少量

=

(B)流れによる表面からの出入り

(C)表面からの作用

(D)検査体積内での発生・消滅、体積力による仕事

と、このように考えれば良いということになります。

 

と、このように考えて式を立てました!(^^)!

 

 

本日は、(\(\diamondsuit\))の式を使って

質量保存則を導きたいと思います(^^)/

質量保存則(連続の式)

\begin{align*}
\frac{\partial \rho}{\partial t}+\frac{\partial (\rho v_{j})}{\partial x_{j}}=0\end{align*}

↓∇演算子で慣れている人もいるかもしれませね。

\begin{align*}
\frac{\partial \rho}{\partial t}+\boldsymbol{\nabla}\cdot(\rho\boldsymbol{v})=0\end{align*}

ちなみに、\(\frac{\partial (\rho v_{j})}{\partial x_{j}}=\sum_{i}\frac{\partial (\rho v_{j})}{\partial x_{j}}\)です。

同じ添え字の場合はΣで足すという暗黙の了解(アインシュタインの縮約記法)として表記しています。

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(\(\diamondsuit\))の一般系から「質量保存保存則」の導出

 

\begin{align*}
\int \frac{\partial \Phi}{\partial t} dV=-\int \frac{\partial \big(\Phi v_{j}\big)}{\partial x_{j}}dV+\int a dS+\int b dV\cdot\cdot\cdot (\diamondsuit)\end{align*}

 

上記のようないわゆるある物理量\(\Phi\)の輸送方程式を導出したので、そのある物理量を決めれば、その物理量の輸送方程式が導出できるというわけです。

 

で、今回のある物理量とは「密度:\(\Phi=\rho\)」のことです。

 

”質量保存”と言っているわけですので、検査体積内の「単位当たりの質量変化=出入りした質量の総和となります

 

ゆえに、(C)と(D)を考慮しなくても良いです。

もし、質量保存を破るような「質量の注入」などがある場合は(D)の効果も式として考慮しなければなりません

 

ここでは、\(a=0,b=0\)として

「密度:\(\Phi=\rho\)」とおいて(\(\diamondsuit\))に代入しましょう。

\begin{align*}
\int \frac{\partial \rho}{\partial t}\ dV=-\int \frac{\partial (\rho v_{j})}{\partial x_{j}}dV\cdot\cdot\cdot (1)\end{align*}

 

 

そして、任意の検査体積で(1)式が成立するためには、

 

\begin{align*}
\frac{\partial\rho}{dt}=- \frac{\partial (\rho v_{j})}{\partial x_{j}}\end{align*}

⇔左辺にもってきて

\begin{align*}
\frac{\partial\rho}{dt}+ \frac{\partial (\rho v_{j})}{\partial x_{j}}=0
\cdot\cdot\cdot (2)\end{align*}

 

このように質量保存則が導けました(^^)/

 

まとめ

 

基礎方程式の一般系

\begin{align*}
\int \frac{\partial \Phi}{\partial t} dV=-\int \frac{\partial \big(\Phi v_{j}\big)}{\partial x_{j}}dV+\int a dS+\int b dV\cdot\cdot\cdot (\diamondsuit)\end{align*}

に\(a=0,b=0\)として「密度:\(\Phi=\rho\)」とおいて(
\(\diamondsuit\))に代入
すると、

質量保存則が導けました。

\begin{align*}
\frac{\partial \rho}{\partial t}+ \frac{\partial (\rho v_{j})}{\partial x_{j}}=0
\cdot\cdot\cdot (2)\end{align*}

 

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