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【フーリエ変換をイメージでわかりやすく】フーリエ変換によって異なる波数の波がどれくらい含んでいるかがわかる。

2019/09/19
 
この記事を書いている人 - WRITER -

こんにちは(@t_kun_kamakiri)(^^)/

この記事ではフーリエ変換の意味について説明したいと思います!

こんな方にはどうぞ
フーリエ変換はを学び始めたが、いまいち意味がわからないという方
 
 
カマキリ
感覚だけつかんでほしい。
 
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フーリエ変換の意味:異なる波数の波がどれくらい含んでいるかがわかる

 

フーリエ変換の意味するところは何かということを理解して覚えておきましょう(^^)/

結論から先に述べると・・・

フーリエ変換を行うことで、異なる波数の波がどれくらい含まれているかが知ることができる。

例えば、\(f(x)\)が以下のような複雑な形をしているとします。

 

これは、実は、

\begin{align*}f(x)  = \sin 2\pi x +10\sin 4\pi x+3\sin 10\pi x\tag{1}\end{align*}

という正弦波での重ね合わせで表現しているものです。

フーリエ変換は、上記のように関数\(f(x)\)を、

\(\sin\)波や\(\cos\)波や正弦波\(e^{ikx}\)などの、

異なる波数の波に分解して波の空間(波数空間)に変換する方法のことです。

こうやって考えると、「おや?\(\sin2\pi x\)(周期1)の波が1個か・・・・\(\sin10\pi x\)(周期1/10)の波が10個か・・・」と、どんな波が何個存在しているか数えることができます

  • 「1個、10個、3個」とか書いたものがフーリエ変換(or フーリエ級数展開)した後の関数(波数空間での関数)のこと
  • 「1個、10個、3個」は各波数の波の振幅

 

フーリエ変換のすごいところは、無限まで積分した値が発散しなければ(\(\int^{\infty}_{-\infty}|f(x)|\ dx<\infty\))・・・どのような任意の関数\(f(x)\)であったとしても、

異なる波数(波の数)のものを適当な重み(どれくらい含んでいるか)をつけて足し合わせることで任意の関数\(f(x)\)を表現できるのです。

カマキリ
↑上の説明はフーリエ変換というよりは、フーリエ級数展開したときの解説でありますが、似たようなものです(離散的か連続、周期関数か非周期関数かの違い)

 

フーリエ逆変換:異なる波数で分解したものをもとの関数\(f(x)\)に戻す変換

 

フーリエ変換で異なる波数の波がどれくらい含んでいるかを知ることができる変換でしたが、

逆に「異なる波数がどれくらい含んでいるかを知っていた」ときに、元の関数\(f(x)\)はどのような形をしているのかを知ることができる変換が逆フーリエ変換です。

フーリエ逆変換:異なる波数で分解したものをもとの関数\(f(x)\)に戻す変換

 

フーリエ変換と逆フーリエ変換を使うことで、「実際の空間の波\(f(x)\)」と「波の空間(波数空間)での\(F(k)\)」とを行き来することができます。

 

まとめ

 

フーリエ変換を行うことで、異なる波数の波がどれくらい含まれているかが知ることができる。

 

数学的な厳密な議論はしていませんが、以上が簡単な説明となります。

カマキリ
イメージをつかめた方は理論の理解に進みましょう(^^)/

 

フーリエ変換の理論を知りたい方はこちらへ

 

 
 
 
 
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