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全微分と偏微分の違いを視覚的に理解しておく

2019/01/22
 
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ふと、

「全微分と偏微分は何がどう違うのだったか?」

そう感じました(笑)

 

なので、以下のような目標をもって見ていくことにしましょう。

 

本記事の目標

全微分と偏微分の違いを視覚的に理解しておく

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全微分

 

以下のような滑らかな曲面\(z=f(x,y)\)を考えましょう。

※滑らかと言っているのは、微分可能という意味で使っています。

 

 

さて、全微分はこの場合は、

\begin{align*}df=f(x+dx,y+dy)-f(x,y)\cdot\cdot\cdot (1)\end{align*}

を意味しますね。

つまり上の絵ののことです。

 

二つの方法で(1)を見ていきましょう(^^)/

 

方法1:①と②をひとつずつ見て和をとる

 

①について

①\(=f(x+dx,y)-f(x,y)=\lim_{dx \to 0}\frac{f(x+dx,y)-f(x,y)}{dx}dx=\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}dx\)・・・(2)

 

 

②について

②\(=f(x,y+dy)-f(x,y)=\lim_{dy \to 0}\frac{f(x,y+dy)-f(x,y)}{dy}dy=\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}dy\)・・・(3)

 

よって\(df\)は、

\(df=\)①+②\(=\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}dx+\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}dy\)・・・(4)

 

これが全微分ですね(^^)

 

 

方法2:\(-f(x,y+dy)+f(x,y+dy)\)を加える

 

(1)式の\(df=f(x+dx,y+dy)-f(x,y)\)より、

\begin{align*}df=f(x+dx,y+dy)-f(x,y)\end{align*}

\begin{align*}=\bigg(f(x+dx,y+dy)-f(x,y+dy)\bigg)+\bigg(f(x+dx,y+dy)-f(x,y)\bigg)\end{align*}

\begin{align*}=\lim_{dx \to 0}\frac{f(x+dx,y+dy)-f(x,y+dy)}{dx}dx+\lim_{dy \to 0}\frac{f(x,y+dy)-f(x,y)}{dy}dy\end{align*}

\begin{align*}=\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}dx+\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}dy\end{align*}

となります。

ゆえに、

\begin{align*}df=\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}dx+\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}dy\cdot\cdot\cdot (4)\end{align*}

 

方法1同様、これが全微分ですね。

 

 

\(x\)に対する導関数\(\frac{df}{dx}\)と偏微分\(\frac{\partial f}{\partial x}\)の違い

 

ところで、

微分\(\frac{df}{dx}\)と偏微分\(\frac{\partial f}{\partial x}\)の違いって視覚的にどう違うのか見てみましょう。

 

\(x\)に対する導関数\(\frac{df}{dx}\)の場合

 

これを絵で書くと水色ラインということですね(^^)

 

(4)式を\(dx\)で割ると、

\begin{align*}\frac{df}{dx}=\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}+\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}\frac{dy}{dx}\cdot\cdot\cdot (5)\end{align*}

式の上ではこのようになります。

 

\(x\)に対する偏微分\(\frac{\partial f}{\partial x}\)の場合

 

これを絵で書くと水色ラインということですね(^^)

 

これは(4)式を使うのではなく、たんに\(y\)を固定したときの\(f(x,y)\)の変化量なので、

\begin{align*}\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}\cdot\cdot\cdot (6)\end{align*}

と書きます。

これを偏微分といいますね。

 

まとめ

 

微分\(\frac{df}{dx}\)の場合

\begin{align*}\frac{df}{dx}=\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}+\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}\frac{dy}{dx}\cdot\cdot\cdot (5)\end{align*}

 

偏微分\(\frac{\partial f}{\partial x}\)の場合

\(y\)を固定したときの\(f(x,y)\)の変化量

\begin{align*}\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}\cdot\cdot\cdot (6)\end{align*}

 

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