全微分と偏微分の違いを視覚的に理解しておく。

こんにちは(@t_kun_kamakiri)(^^)/

「全微分と偏微分は説明できるでしょうか？」

本記事の内容

全微分と偏微分の違いを視覚的に理解しておく

微分すらあやしいって方は以下の記事を参考にしてください！

全微分

以下のような滑らかな曲面$z=f(x,y)$を考えましょう。

※滑らかと言っているのは、微分可能という意味で使っています。

さて、全微分はこの場合は、

\begin{align*}df=f(x+dx,y+dy)-f(x,y)\tag{1}\end{align*}

を意味しますね。

つまり上の絵の①＋②のことです。

二つの方法で(1)を見ていきましょう(^^)/

方法1：①と②をひとつずつ見て和をとる

①について

\begin{align*}①&=f(x+dx,y)-f(x,y)\\
&=\lim_{dx \to 0}\frac{f(x+dx,y)-f(x,y)}{dx}dx\\
&=\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}dx\tag{2}\end{align*}

②について

\begin{align*}②&=f(x,y+dy)-f(x,y)\\
&=\lim_{dy \to 0}\frac{f(x,y+dy)-f(x,y)}{dy}dy\\
&=\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}dy\tag{3}\end{align*}

よって$df$は、

\begin{align*}df &=①+②\\
&=f(x+dx,y+dy)-f(x,y)\\
&=f(x+dx,y)-f(x,y)+f(x,y+dy)-f(x,y)\\
&=\lim_{dx \to 0}\frac{f(x+dx,y)-f(x,y)}{dx}dx + \lim_{dy \to 0}\frac{f(x,y+dy)-f(x,y)}{dy}dy\\
&=\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}dx+\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}dy\tag{4}\end{align*}

これが全微分ですね(^^)

方法2：$-f(x,y+dy)+f(x,y+dy)$を加える

(1)式の$df=f(x+dx,y+dy)-f(x,y)$より、

\begin{align*}df &=f(x+dx,y+dy)-f(x,y)\\
&=\bigg(f(x+dx,y+dy)-f(x,y+dy)\bigg)+\bigg(f(x+dx,y+dy)-f(x,y)\bigg)\\
&=\lim_{dx \to 0}\frac{f(x+dx,y+dy)-f(x,y+dy)}{dx}dx+\lim_{dy \to 0}\frac{f(x,y+dy)-f(x,y)}{dy}dy\\
&=\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}dx+\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}dy\end{align*}

となります。
※3つ目の式は$\lim_{dx \to 0}\frac{f(x+dx,y+dy)-f(x,y+dy)}{dx}dx$について$y$については変化をさせていないので、$\lim_{dx \to 0}\frac{f(x+dx)-f(x)}{dx}dx=\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}dx$と見るとわかりやすいですね。

ゆえに、

\begin{align*}df=\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}dx+\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}dy\cdot\cdot\cdot (4)\end{align*}

方法1同様、これが全微分ですね。