熱力学

定積比熱と定圧比熱の温度依存性について!多項式で近似する。

皆さん比熱に温度依存性があるのはご存知でしょうか?

熱力学では比熱は定数と考えて扱われがちですが、実際には温度依存性があります。

本記事の内容

  • 温度依存性がある場合どのように扱うのか?
  • なぜ温度依存性があるのか?

 

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定積比熱と定圧比熱の温度依存性について

 

「定積比熱\(C_{v}\)も定圧比熱\(C_{p}\)も一般的には温度依存性がります。(あってもおかしくない)

このような時にどのように扱えば良いのでしょうか?

その場合でも何も慌てる必要はないです・・・

理想的な状態(比熱が定数)から少しずれるのですから、ちょっと補正してやれば良いだけなのです。

ただ、どのように温度に依存するかはわからりませんよね。

線形に変化するのか、非線形か??

わからないから、とりあえず多項式で書けば良いでしょうね。

\begin{align*}C_{v}(T)=a+bT+cT^2+dT^3+\cdot\cdot\cdot (1)\end{align*}


\begin{align*}C_{p}(T)=\alpha+\beta T+\gamma T^2+\delta T^3+\cdot\cdot\cdot (2)\end{align*}

こんな感じです。

これはテーラー展開とは違うということは一応言っておきます。

テーラー展開は、「ある点のまわり(ある温度のまわり)で多項式で近似する」だけであって、全領域で適用できる展開ではないです。

ただ多項式で近似を行っただけです。

比熱の温度依存性を考慮した解析をしたい場合は、(1)(2)式の多項式の定数を物性値としてデータベース化されているのでそれを使用するだけで良いです。

Engineering ToolBox

空気の比熱と比熱比 参考までに

 

http://skomo.o.oo7.jp/f27/hp27_47.htm

 

空気の「比熱比」と「定積比熱、定圧比熱」を載せておきました。

なぜ、「比熱比は温度」とともに下がり、「比熱」は温度とともに上昇していくのでしょうか。

比熱の温度依存性について理論的にまとめました。

 

カマキリ

比熱の温度依存性についての記事をまとめましたので是非お読みください。

 

比熱の温度依存性についての理論内容
 

  1. 内部エネルギーとは何か?
    【理想気体の比熱の温度依存性(1)】内部エネルギーとは。
  2. 古典近似での比熱の理解の誤り
    【理想気体の比熱の温度依存性(2)】分配関数から物理量の期待値が求まる。
    【理想気体の比熱の温度依存性(3)】分配関数の古典近似を考えてみよう。
    【理想気体の比熱の温度依存性(4)】古典近似から2原子分子の比熱を求める。
    【理想気体の比熱の温度依存性(5)】2原子分子の回転の運動にもエネルギーが等分配されているのか。

  3. 量子論(+統計力学)での比熱の取り扱いと正しい理解
    【理想気体の比熱の温度依存性(6)】2原子分子のシュレディンガー方程式
    【理想気体の比熱の温度依存性(7)】シュレディンガー方程式の極座標表記(2原子分子)
    【理想気体の比熱の温度依存性(8)】量子論でエネルギー固有値から2原子分子の比熱を計算する

 

比熱の温度依存性を理解する理論的な面白さは以下にあります。

面白さ
比熱の温度依存性は古典力学の範囲で議論しても一向に理解ができないという結論になります。
実験事実として比熱は温度依存性があるのですが、「マクロな視点で見る熱力学」でも「ミクロな視点から統計的に粒子の運動を考える統計力学」でも比熱の温度依存性についての理論的な理解を得ることができなかった・・・・という歴史があるようです。
比熱の温度依存性については、量子力学の登場を待つしかなかったのですが、現在の量子力学は実験事実を示す矛盾の無いモデルとして構築されています。
比熱の温度依存性の理論的理解にもやはり量子力学が必要であるということを見ていきたいと思います。

 

お勧めの参考書

 

「なぜ比熱の温度依存性があるのか」について、

  1. 熱力学
  2. 量子力学
  3. 統計力学

この3つの知識が必要になります。

熱力学

比熱の理解は、やはり熱力学から勉強しないといけません。

そんな中どの「熱力学」の参考書で勉強すればよいのかというと、以下の2冊が絶対おすすめです。

こちらの2冊を読むと熱力学の見方が変わります!!

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量子力学

比熱の理解には量子力学の知識が絶対に必要になります。

量子力学の計算をとても丁寧に解説した参考書が以下になります。

特に「2原子分子のシュレディンガー方程式」についての解説や、「シュレディンガー方程式の極座標表記」については、下記の参考書はとても役に立ちます。

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統計力学

統計力学は特に「統計力学Ⅰ」の参考書が比熱の理解には大いに役に立ちます。

量子力学の知識がある方は読み進めることができると思います。

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【プロフィール】

カマキリ
(^^)

大学の専攻は物性理論で、Fortranを使って数値計算をしていました。
CAEを用いた流体解析は興味がありOpenFOAMを使って勉強しています。

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